Застосування симетричних многочленів

Сумський держаний педагогічний університет імені А. С. Макаренка

Кафедра математики

КУРСОВА РОБОТА

з алгебри

на тему: «ЗАСТОСУВАННЯ СИМЕТРИЧНИХ МНОГОЧЛЕНІВ»

Студенки 3 курсу 432 групи

напряму підготовки 0402 фізико-математичних наук

спеціальності 6.040203 математика

Рудченко Олени Володимирівни

Керівник викладач кафедри математики

Друшляк Марина Григорівна

м. Суми – 2010 р.

ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ I. ТЕОРЕТИЧНІ ПОЛОЖЕННЯ ПРО СИМЕТРИЧНІ МНОГОЧЛЕНИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ

1.1 Загальні поняття про симетричний многочлен

1.2 Властивості симетричних многочленів

РОЗДІЛ IІ. ЗАСТОСУВАННЯ СИМЕТРИЧНИХ МНОГОЧЛЕНІВ

2.1 Розв’язування систем рівнянь

2.2 Доведення тотожностей

2.3 Звільнення від ірраціональності

2.4 Вилучення коренів

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

МНОГОЧЛЕНІВ

2.1 Розв’язування систем рівнянь

Дуже часто зустрічаються системи рівнянь, ліві частини яких симетрично залежать від невідомих x, y. В цьому випадку зручно перейти до нових невідомих . За основною теоремою теорії симетричних многочленів, це завжди можливо. Необхідність такої заміни невідомих полягає в тому, що степені рівнянь після заміни зменшуються (оскільки є многочленом другої степені від x, y). Іншими словами, як правило, розв’язування системи відносно нових невідомих простіше, ніж розв’язування первинної системи.

Після того, як знайдені значення величин , треба знайти значення первинних невідомих x, y. Це може бути зроблено за допомогою наступної теореми

Теорема. Нехай - два довільні числа. Квадратне рівняння

(*)

і система рівнянь

(**)

пов'язані один з одним таким чином: якщо z₁, z₂ – корні квадратного рівняння (*), то система (**) має два розв’язки:

і інших розв’язків не має; якщо x = a, y = b - розв’язки системи (**), то числа a і b є коренями квадратного рівняння (*).

Доведення. Якщо z₁ і z₂ – корні квадратного рівняння (*), то по формулах Вієта

тобто числа

є розв’язками системи (**). Те, що інших розв’язків система (**) не має, витікає з останнього твердження теореми, яке ми зараз доведемо.

Отже, нехай x = a, y = b - розв’язок системи (**), тобто

ab =.

Тоді ми маємо

Але це означає, що числа a і b являються коренями квадратного рівняння (*). Теорема доведена.

Наведемо приклади.

Приклад 1.Розв’язати систему рівнянь

Введемо нові невідомі знаходимо:

а тому для нових невідомих отримуємо наступну систему рівнянь:

З цієї системи рівнянь отримуємо .

Отже, тобто для первинних невідомих x, y ми отримуємо наступну систему рівнянь :

Ця система рівнянь легко розв’язується, і ми отримуємо наступний розв’язок первинної системи:

Приклад 2.Розв’язати систему рівнянь

Розв’язання проводиться аналогічно. Вважаючи, що приводимо початкову систему до вигляду

Звідси для отримуємо квадратне рівняння

Чи

З цього рівняння знаходимо два значення для:

Таким чином, для первинних невідомих x, y отримуємо дві системи рівнянь:

та Розв’язавши ці системи, знаходимо чотири розв’язки первинної системи:

2.2 Доведення тотожностей

У цілому ряді завдань на доведення тотожності також з успіхом можуть бути застосовані елементарні симетричні многочлени. За основною теоремою симетричних многочленів, кожну степеневу суму можна представити у вигляді многочлена від,

Таблиця 2. 1 Вирази степенних сум через,

Кожну степеневу суму можна представити у вигляді многочлена від , , за умови, що .

Таблиця 2.2 Вирази степенних сум через при виконанні умови

Існують одночлени, які не змінюються при перестановці змінних – симетричні одночлени. Легко побачити, що усі змінні в такий одночлен повинні входити в одному і тому ж степені, тобто цей одночлен повинен збігатися з добутком (взятий з деяким числовим коефіцієнтом).

Якщо показники степеня одночлена є різними то цей одночлен не є симетричним. Щоб отримати симетричний одночлен, одним із доданків, якого є, необхідно додати до нього інші одночлени.

Позначимо через O – многочленз найменшим числом членів, одним із доданків, якого є одночлен, цей многочлен має назву орбіта.

Для отримання орбіти одночлена необхідно додати до нього одночлени отримані за допомогою перестановок змінних x, y, z. Якщо три показники степеня (k, l, m) не рівні між собою, то орбіта O(буде складатися з шести членів. Наприклад:

О(

Частинним випадком таких орбіт є степеневі суми:

Якщо k = l = m, то орбіта є одночленом:

О(.

З цих формул за допомогою співвідношень

(*)

Якщо k = l, то отримаємо

(**)

З цього легко отримати вирази орбіт O(x^ky^l) через за умови, що

У таблиці 2.3 наведені вирази деяких орбіт O(x^ky^l) через ,

Таблиця 2.3 Вирази орбіт O(x^ky^l) через

Наприклад,

Приклад 1.Довести, що якщо x + y + z = 0, то

За таблицею 2.1 маємо:

За умовою s₁ = x + y + z = 0, і тому .

Приклад 2. Довести, що якщо

x + y + z =, то xyz = 0.

Умова завдання записується у вигляді

З цієї системи рівності знаходимо, що s₂=0 і s₃ = 0. Рівність s₃=0 і означає, що xyz=0.

Приклад 3. Довести, що якщо x + y + z = 0 і xy + xz + yz = 0, то справедлива рівність

З наведеної таблиці 2.3, легко знаходимо (за умов ) :

крім того, згідно таблиці 2.2:

З цих співвідношень безпосередньо витікає доводжувана рівність.

Приклад 4. Довести, тотожність

Для доведення позначимо число (– a – b) через c: с = – a – b.

Тоді a + b + c = 0 і можна застосувати формули, запропоновані у таблиці 2. 2. Ліва частина доводжуваної тотожності перетвориться таким чином:

а права - таким чином:

Таким чином, доводжувана рівність справедлива.

Вказані способи доведення тотожності нерідко застосовуються у поєднанні з наступним прийомом: якщо обидві частини, тієї тотожності, що доводимо, виражається через різниці ab, bc, ca, то зручно зробити заміну x = ab, y = bc, z = ca, тоді x + +y + z = (ab)(bc)(ca) = 0 і тому можна застосовувати формули, запропоновані у таблиці 2. 2. Той же прийом можна застосовувати при розкладанні на множники многочленів, що виражаються через різниці ab, bc, ca.Розглянемо приклад.

Приклад 5.Розкласти на множники многочлен

Вважаючи, що x = ab, y = bc, z = ca, знаходимо:

Ми скористались формулою , запропонована у таблиці 2. 2.

2.3 Звільнення від ірраціональності

Симетричні многочлени дозволяють розв’язати багато важких завдань про звільнення від ірраціональності в знаменнику. У разі, коли знаменник має вигляд або цю задачу можна вирішити і без застосування симетричних многочленів. Для цього досить використовувати формули

Складніше йде справа, якщо знаменник складається з трьох або більшого числа ірраціональних доданків. Тут і можуть допомогти симетричні многочлени. Розглянемо наступні приклади.

Приклад 1. Звільнитися від ірраціональності в знаменнику виразу

Покладемо Тоді знаменник є не чим іншим, як елементаpним симетричним многочленом Спробуємо підшукати множник, після множення на який знаменник вдасться виразити через статечні суми s₂ і s₄. Оскільки ці степеневі суми мають вигляд

знаменник стане раціональним виразом. Для знаходження цього множника використовуємо формули

(За табл. 2.1.). Ми бачимо, що в обох степеневих сумах лише останній доданок (у правій частині) не ділиться на . Але дуже легко скомбінувати ці степеневі суми так, щоб останні доданки, що заважають нам, взаємно знищилися. Для цього суму піднесемо до квадрату

і віднімемо з цього квадрата подвоєну суму . Ми отримаємо:

Звідки:

)

Згадуючи, що ми знаходимо (використовуючи вказані вище співвідношення

Залишається помножити обидві частини отриманої рівності на q .

Зауваження. Щоб уникнути дещо неприємного (при розкритті дужок в чисельнику) вираження, можна було б спочатку перетворити чисельник в правій частині формули (*). Використовуючи співвідношення

ми можемо переписати формулу (*) у вигляді

Звідси ( вважаючи, як і раніше, ) отримуємо рішення задачі в зручнішому вигляді:

Приклад 2. Звільнитися від ірраціональності в знаменнику виразу

Напишемо вираз степеневої суми s₃ :

В правій частині тільки останній доданок не ділиться на . Переносячи його в ліву частину, отримуємо:

Звідки:

Поклавши знаходимо: