Способи перетворення креслення

Житомирський Військовий Інститут

Національного Авіаційного Уніврситету

Реферат

на тему:

Способи перетворення креслення

Житомир 2010

Задачі нарисної геометрії можна розділити на позиційні та метричні.

В метричних задачах треба знайти натуральні розміри геометричних фігур, які дані на кресленні своїми проекціями в загальному виді. Наприклад, знайти довжину відрізка, величину кута та ін. Подібну задачу вирішили на практичному занятті № 2 – визначали натуральну величину відрізка прямої та кут нахилу до площини проекції.

В позиційних задачах треба знайти положення геометричних фігур (точки, прямої, площини, фігури), які задовольняють умовам задачі. Наприклад, знайти точку перетину прямої з площиною, провести пряму або площину через дану точку, знайти лінію перетину площин і т. ін. Таку задачу вирішили на практичному занятті № 3.

Розв’язування просторових задач на комплексному кресленні значно спрощується, якщо елементи простору, які нас цікавлять, займають частинне положення, тобто розташовані паралельно або перпендикулярно площинам проекцій. Це перш за все стосується прямих ліній, площин, гранних і криволінійних поверхонь. Після перетворення комплексного креслення одержані проекції дають можливість значно спростити хід розв’язування задачі.

Щоб досягти частинного розташування геометричних фігур, комплексне креслення перетворюють або перебудовують, виходячи з конкретних умов.

Існують два основних способи перетворення проекцій:

1) спосіб заміни площин проекцій;

2) спосіб обертання.

При першому способі положення фігури відносно площин проекцій залишається незмінним, змінюється тільки положення одної з площин проекцій, причому площина, яку замінюють залишається в положенні перпендикулярному до незмінюваної площини.

В другому способі обертання положення площин проекцій залишається незмінним, змінюється положення фігури відносно площин проекцій шляхом обертання її навколо осі, паралельної одної з площин проекцій.

Оскільки частинних положень у прямої два і в площини два, то існують чотири задачі для перетворення комплексного креслення:

1) пряму загального положення зробити прямою рівня;

2) пряму рівня зробити проекціюючою прямою;

3) площину загального положення зробити проекціюючою;

4) проекціюючу площину зробити площиною рівня.

1. Спосіб заміни площин проекцій

Теорія способу заміни площин. Суть цього способу полягає в тому, що просторове положення заданих елементів або фігури залишається незмінним, а змінюється система площин проекцій. Додаткові площини проекцій вводяться так, щоб на них елементи, які нас цікавлять, зображувалися в зручному для конкретної задачі положенні. Тобто одна з основних площин р₂ або р₁ заміняється новою додатковою площиною р₄, розташованою паралельно або перпендикулярно заданій геометричній фігурі. Перетворення проекцій деякої геометричної фігури, яке здійснюється способом заміни площин, проекцій, пов’язане з перетворенням проекцій точок, що належать даній фігурі. Тому розглянемо спочатку, яких змін зазнають проекції окремої точки при переході від однієї системи ортогональних площин до іншої.

На рис. 1 точка A задана в системі р₂/ р₁. Вісь проекцій будемо позначати записом в вигляді дробу – позначення площин представляють собою як би чисельник та знаменник, причому кожна буква ставиться по той бік вісі, де повинні розміщуватися відповідні проекції. Площина р₂ замінена новою площиною р₄ перпендикулярною до р₁. Площина р₁ є загальною в системі р₂/р₁ і р₁/р₄, то координата z_A залишається незмінною.

Отже, відстань від нової фронтальної проекції до нової вісі x₁₄ дорівнює відстані від замінюваної проекції до вісі x₁₂.

Рис. 1

Для одержання епюра точки А площину р₄ обертають навколо вісі x₁₄ до сполучення з площиною р₁. Суміститься з р₄ і нова фронтальна проекція А₄ точки А, яка виявиться на спільному перпендикулярі до нової вісі х₁₄ з горизонтальною проекцією А₁, яка не змінила свого положення (рис. 2)

Аналогічно можна замінити горизонтальну площину проекцій р₁ площиною р₄, також перпендикулярною р₂ (рис. 3,а). У цьому випадку величина координати у, котра визначає відстань від точки В до спільної для двох систем площини р₂, не зміниться. Тому відстань від нової «горизонтальної» проекції точки до нової осі х₂₄ дорівнює відстані від точки В₁ до осі х₁₂.

При побудові нової проекції точки на епюрі (рис. 3,б) із В₂ опускають перпендикуляр на нову вісь х₂₄, на якому від отриманої точки відкладають відрізок, що дорівнює координаті у.

Висновки:

– при заміні фронтальної площини проекцій р₂ новою площиною горизонтальна проекція точки залишається без змін;

– щоб визначити нову фронтальну проекцію точки, треба з горизонтальної проекції опустити перпендикуляр на нову вісь і від вісі відкласти на ньому відрізок, який дорівнює відстані від замінюваної проекції до старої осі, тобто координату z даної точки.

Деякі перетворення проекцій вимагають подвійної заміни площин. Послідовний перехід від однієї системи площин проекцій до іншої необхідно здійснювати, дотримуючись такого правила: відстань від нової проекції точки до нової осі має дорівнювати відстані від перетворюваної (замінюваної) проекції точки до попередньої осі.

Для розуміння та просторового уявлення переходу від одної системи площин до 2 інших розглянемо декілька задач.

Задача 3. Перетворити креслення так, щоб площина загального положення в новій системі площин проекцій стала проекціюючою.

Нехай площина загального положення задана трьома точками А, В, С (рис. 4). Для розв’язування сформульованої задачі нову площину проекцій потрібно розташувати перпендикулярно трикутнику ABC і одній з площин проекцій. Нова площина має бути перпендикулярна лінії перетину заданої площини з однією з площин проекцій. При цьому немає необхідності будувати таку лінію, оскільки її напрям можна встановити за допомогою головної лінії площини.

Ось чому в заданій площині перш за все проводять одну з головних ліній, наприклад горизонталь АН. Ця горизонталь потрібна для орієнтування нової площин проекцій р ₄.

Розташувавши р₄ ^ АН, ми забезпечуємо виконання двох умов одразу: нова площина р₄ буде перпендикулярна і до р₁ і до площини трикутника. Нову вісь х₂₄ проводять під прямим кутом до А₁Н₁. Провівши через горизонтальні проекції вершин трикутника прямі, перпендикулярні до нової осі, відкладають на них від х₁₄ відрізки, що дорівнюють z_A, z_B і z_С. Так одержують нову фронтальну проекцію А₄В₄С₄ трикутника ABC, яка являє собою пряму лінію. Відмітимо, що на площину р₄, яка перпендикулярна до трикутника і р₁, без спотворення проекціюється кут ц, утворений трикутником з площиною р₁ .

Аналогічне перетворення виконано на рис. 5, де площина р₁ замінена площиною р₄, перпендикулярною до р₂ і трикутника ABC. Для цього в площині трикутника була проведена фронталь AF, перпендикулярно до якої і розташовується площина р₄. Нова вісь х₂₄ вибрана перпендикулярно до A₂F₂. Площина трикутника відносно р₁ стала проекціюючою. На площину р₄ без спотворення проекціюється кут y нахилу трикутника до фронтальної площини проекцій р₂.

Задача 4. Перетворити креслення так, щоб площина загального положення стала паралельною одній з площин проекцій нової системи

Нехай задано трикутник ABC у площині загального положення (рис. 6). Потрібно створити таку нову ортогональну систему площин проекцій, в якій одна з них має бути паралельною трикутнику. В системі р₂/ р₁ таку площину побудувати не можна. Справді, площина трикутника, не буде перпендикулярна ні до р₁ ні до р₂ , тобто вона не утворює з площинами проекцій ортогональної системи.

Розв’язування задачі потребує подвійної заміни площин проекцій. Суть першої заміни р₂ на р₄ полягає в перетворенні площини трикутника в проекціюючу площину. Цей процес описаний вище задачі № 3.

Другий етап розв’язування задачі полягає в переході від системи р₁/ р₄ до системи р₄/ р₅. Нова площина р₅ установлюється паралельно трикутнику, а отже, нова вісь х₄₅ на епюрі проводиться паралельно прямій, на якій виявились розташованими точки А₄, В₄ і С₄. Як правило, через вказані точки проводять перпендикуляри до нової осі і відкладають на них від х₄₅ відрізки, що дорівнюють l_А, l_в, l_с. Побудована проекція А₅В₅С₅ визначає дійсну величину трикутника.

Якщо ж задана площина є проекціюючою (рис. 7), то розглядувана задача розв’язується однією заміною площин. В цьому випадку площина р₄, паралельна трикутнику ABC, утворює з р₂ ортогональну систему р₂/ р₄. Нова проекція А₄В₄С₄ на площину р₄ визначає дійсну величину трикутника.

Рис. 7