Незалежні випробування
Курсова робота
з дисциплини: Теорема ймовірності
на тему: Незалежні випробування
Введення
При практичному застосуванні теорії ймовірностей часто доводиться зустрічатися із задачами, у яких те саме випробування повторюється неодноразово. У результаті кожного випробування може з'явитися або не з'явитися деяка подія А, причому нас не цікавить результат кожного окремого випробування, а загальне число появ події А в результаті серії досвідів. Наприклад, якщо виробляється група пострілів по однієї й тій же меті, нас, як правило, не цікавить результат кожного пострілу, а загальне число влучень. У подібних задачах потрібно вміти визначати ймовірність будь-якого заданого числа появ події в результаті серії досвідів. Такі задачі й будуть розглянуті. Вони вирішуються досить просто у випадку, коли випробування є незалежними.
Визначення. Випробування називаються незалежними, якщо ймовірність того або іншого результату кожного з випробувань не залежить від того, які результати мали інші випробування.
Наприклад, кілька кидань монети являють собою незалежні випробування.
1. Формула Бернуллі
Нехай зроблено два випробування(n=2). У результаті можливе настання одного з наступних подій: 
Відповідні ймовірності даних подій такі: 
.
або 
- настання події тільки в одному випробуванні.
- імовірність настання події два рази.
- імовірність настання події тільки один раз.
- імовірність настання події нуль раз.
Нехай тепер n=3. Тоді можливе настання одного з наступних варіантів подій:
.
Відповідні ймовірності рівні 
.
Очевидно, що отримані результати при n=2 і n=3 є елементами
и.
Тепер допустимо, зроблено n випробувань. Подія А може наступити n раз, 0 разів, n-1 раз і т.д. Напишемо подію, що складається в настанні події А m раз
Необхідно знайти число випробувань, у яких подія А наступить m раз. Для цього треба знайти число комбінацій з n елементів, у яких А повторюється m раз, а 
n-m раз.
- імовірність настання події А.
(1)
Остання формула називається формулою Бернуллі і являє собою загальний член розкладання 
:
.
З формули (1) видно, що її зручно використовувати, коли число випробувань не занадто велике.
Приклади
№1. Кидається монета 7 разів. Знайти ймовірність настання орла три рази.
Рішення.
n=7, m=3
.
№2. Щодня акції корпорації АВС піднімаються в ціні або падають у ціні на один пункт із ймовірностями відповідно 0,75 і 0,25. Знайти ймовірність того, що акції після шести днів повернуться до своєї первісної ціни. Прийняти умову, що зміни ціни акції нагору й долілиць - незалежні події.
Рішення. Для того, щоб акції повернулися за 6 днів до своєї первісної ціни, потрібно, щоб за цей час вони 3 рази піднялися в ціні й три рази опустилися в ціні. Шукана ймовірність розраховується по формулі Бернуллі
№3. Мотори багатомоторного літака виходять із ладу під час польоту незалежно один від іншого з імовірністю р. Багатомоторний літак продовжує летіти, якщо працює не менш половини його моторів. При яких значеннях р двомоторний літак надійніше чотиримоторного літака?
Рішення. Двомоторний літак терпить аварію, якщо відмовляють обоє його мотора. Це відбувається з імовірністю р2. Чотиримоторний літак терпить аварію, якщо виходять із ладу всі 4 мотори а це відбувається з імовірністю р4, або виходять із ладу три мотори з 4-х. Імовірність останньої події обчислюється по формулі Бернуллі: 
. Щоб двомоторний літак був надійніше, ніж чотиримоторний, потрібно, щоб виконувалася нерівність
р2<р4+4p3(1–p)
Ця нерівність зводиться до нерівності (3 р-р-1)( р-р-1)<0. Другий співмножник у лівій частині цієї нерівності завжди негативний (за умовою задачі). Отже, величина 3 р-р-1 повинна бути позитивної, звідки треба, що повинне виконуватися умову р>1/3. Слід зазначити, що якби ймовірність виходу з ладу мотора літака перевищувала одну третину, сама ідея використання авіації для пасажирських перевезень була б дуже сумнівною.
№4. Бригада з десяти чоловік іде обідати. Є дві однакові їдальні, і кожний член бригади незалежно один від іншого йде обідати в кожну із цих їдалень. Якщо в одну з їдалень випадково прийде більше відвідувачів, чим у ній є місць, то виникає черга. Яке найменше число місць повинне бути в кожній з їдалень, щоб імовірність виникнення черги була менше 0,15?
Рішення. Рішення задачі прийде шукати перебором можливих варіантів. Спочатку помітимо, що якщо в кожній їдальні по 10 місць, то виникнення черги неможливо. Якщо в кожній їдальні по 9 місць, то черга виникне тільки у випадку, якщо всі 10 відвідувачів потраплять в одну їдальню. З умови задачі треба, що кожний член бригади вибирає дану їдальню з імовірністю 1/2. Виходить, усі зберуться в одній їдальні з імовірністю 2(1/2)10=1/512. Це число багато менше, ніж 0,15, і варто провести розрахунок для їдалень. Якщо в кожній їдальні по 8 місць, то черга виникне, якщо всі члени бригади прийдуть в одну їдальню, імовірність цієї події вже обчислена, або 9 чоловік підуть в одну їдальню, а 1 чоловік вибере іншу їдальню. Імовірність цієї події розраховується за допомогою формули Бернуллі 
. Таким чином, якщо в їдальнях по 8 місць, то черга виникає з імовірністю 11/512, що поки ще менше, ніж 0,15. Нехай тепер у кожній з їдалень по 7 місць. Крім двох розглянутих варіантів, у цьому випадку черга виникне, якщо в одну з їдалень прийде 8 чоловік, а в іншу 2 чоловік. Це може відбутися з імовірністю 
.
Виходить, у цьому випадку черга виникає з імовірністю 56/512=0,109375<0,15. Діючи аналогічним образом, обчислюємо, що якщо в кожній їдальні 6 місць, то черга виникає з імовірністю 56/512+120/512=176/512=0,34375. Звідси одержуємо, що найменше число місць у кожній їдальні повинне рівнятися семи.
№5. В урні 20 білих і 10 чорних куль. Вийняли 4 кулі, причому кожну вийняту кулю повертають в урну перед добуванням наступні й кулі в урні перемішують. Знайти ймовірність того, що із чотирьох вийнятих куль виявиться 2 білих.
Рішення. Подія А – дістали білу кулю. Тоді ймовірності
, 
.
По формулі Бернуллі необхідна ймовірність дорівнює
.
№6. Визначити ймовірність того, що в родині, що має 5 дітей, буде не більше трьох дівчинок. Імовірності народження хлопчика й дівчинки передбачаються однаковими.
Рішення. Імовірність народження дівчинки
, тоді 
.
Знайдемо ймовірності того, що в родині немає дівчинок, народилася одна, дві або три дівчинки:
бернуллі формула лаплас ймовірність
, 
,
, 
.
Отже, шукана ймовірність
.
№7. Серед деталей, оброблюваних робітником, буває в середньому 4% нестандартні. Знайти ймовірність того, що серед узятих на випробування 30 деталей дві будуть нестандартними.
Рішення. Тут досвід полягає в перевірці кожної з 30 деталей на якість. Подія А - "поява нестандартної деталі", його ймовірність 
, тоді 
. Звідси по формулі Бернуллі знаходимо
.
№8. При кожному окремому пострілі зі знаряддя ймовірність поразки мети дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що з 20 пострілів число вдалих буде не менш 16 і не більше 19.
Рішення. Обчислюємо по формулі Бернуллі:
№9. Незалежні випробування тривають доти, поки подія А не відбудеться k раз. Знайти ймовірність того, що буде потрібно n випробувань (n і k), якщо в кожному з них 
.
Рішення. Подія В – рівно n випробувань до k-го появи події А – є добуток двох наступних подій:
D – в n-ом випробуванні А відбулося;
С – у перші (n–1)-ом випробуваннях А з'явилося (до-1) раз.
Теорема множення й формула Бернуллі дають необхідну ймовірність:
.
№10. З n акумуляторів за рік зберігання k виходить із ладу. Вибирають m акумуляторів. Визначити ймовірність того, що серед них l справних n = 100, k = 7, m = 5, l = 3.
Рішення: Маємо схему Бернуллі з параметрами p=7/100=0,07 (імовірність того, що акумулятор вийде з ладу), n = 5 (число випробувань), k = 5-3 =2 (число "успіхів", несправних акумуляторів). Будемо використовувати формулу Бернуллі (імовірність того, що в n випробуваннях подія відбудеться k раз).
Одержуємо
№11. Пристрій, що складається з п'яти незалежно працюючих елементів, включається за час Т. Імовірність відмови кожного з них за цей час дорівнює 0,2. Знайти ймовірність того, що відмовлять: а) три елементи; б) не менш чотирьох елементів; в) хоча б один елемент.
Рішення: Маємо схему Бернуллі з параметрами p = 0,2 (імовірність того, що елемент відмовить), n = 5 (число випробувань, тобто число елементів), k (число "успіхів", що відмовили елементів). Будемо використовувати формулу Бернуллі (імовірність того, що для n елементів відмова відбудеться в k елементах): 
. Одержуємо а) 
- імовірність того, що відмовлять рівно три елементи з п'яти. б) 
- імовірність того, що відмовлять не менш чотирьох елементів з п'яти (тобто або чотири, або п'ять). в) 
- імовірність того, що відмовить хоча б один елемент (знайшли через імовірність протилежної події - жоден елемент не відмовить).
№12. Скільки варто зіграти партій у шахи з імовірністю перемоги в одній партії, рівної 1/3, щоб число перемог було дорівнює 5?
Рішення: Число перемог k визначається з формули 
Тут p =1/3 (імовірність перемоги), q = 2/3 (імовірність програшу), n - невідоме число партій. Підставляючи даного значення, одержуємо:
Одержуємо, що n = 15, 16 або 17.
2. Локальна формула Муавра-Лапласа
Легко бачити, що користуватися формулою Бернуллі при більших значеннях n досить важко, тому що формула вимагає виконання дій над величезними числами. Природно, виникає питання: чи не можна обчислити ймовірність, що цікавить нас,, не прибігаючи до формули Бернуллі.
В 1730 р. інший метод рішення при p=1/2 знайшов Муавр; в 1783 р. Лаплас узагальнив формулу Муавра для довільного p, відмінного від 0 і 1.
Ця формула застосовується при необмеженому зростанні числа випробувань, коли ймовірність настання події не занадто близька до нуля або одиниці. Тому теорему, про яку мова йде, називають теоремою Муавра-Лапласа.
Теорема Муавра-Лапласа. Якщо ймовірність p появи події А в кожному випробуванні постійне й відмінна від нуля й одиниці, то ймовірність 
того, що подія А з'явиться в n випробуваннях рівно k раз, приблизно дорівнює(тим точніше, чим більше n) значенню функції
При 
.
Є таблиці, у яких поміщені значення функції
,
відповідним позитивним значенням аргументу x(див. додаток 1). Для негативних значень аргументу користуються тими ж таблицями, тому що функція 
парна, тобто 
.
Отже, імовірність того, що подія A з'явиться в n незалежних випробуваннях рівно k раз, приблизно дорівнює
,
де .
№13. Знайти ймовірність того, що подія А наступить рівно 80 разів в 400 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,2.
Рішення. За умовою n=400; k=80; p=0,2; q=0,8. Скористаємося формулою Лапласа:
.
Обчислимо обумовлене даними задачі значення x:
.
По таблиці додатка 1 знаходимо 
.
Шукана ймовірність
.
№14. Імовірність поразки мішені стрільцем при одному пострілі p=0,75.
Знайти ймовірність того, що при 10 пострілах стрілок уразить мішень 8 разів.
Рішення. За умовою n=10; k=8; p=0,75; q=0,25.
Скористаємося формулою Лапласа:
.
Обчислимо обумовлене даними задачі значення x:
.
По таблиці додатка 1 знаходимо
Шукана ймовірність
.
№15. Знайти ймовірність того, що подія А наступить рівно 70 разів в 243 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,25.
Рішення. За умовою n=243; k=70; p=0,25; q=0,75. Скористаємося формулою Лапласа:
.
Знайдемо значення x:
.
По таблиці додатка 1 знаходимо
.
Шукана ймовірність
.
№16. Знайти ймовірність того, що подія А наступить 1400 разів в 2400 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,6.
Рішення. За умовою n=2400; k=1400; p=0,6; q=0,4. Як і в попередньому прикладі, скористаємося формулою Лапласа:
Обчислимо x:
.
По таблиці додатка 1 знаходимо
Шукана ймовірність
.
3. Формула Пуассона
Ця формула застосовується при необмеженому зростанні числа випробувань, коли ймовірність настання події досить близька до 0 або 1.
,
.
Доказ.
.
.
У такий спосіб одержали формулу:
.
Приклади
№17. Імовірність виготовлення негідної деталі дорівнює 0,0002. Знайти ймовірність того, що серед 10000 деталей тільки 2 деталі будуть негідними.
Рішення. n=10000; k=2; p=0,0002. 
.
№18. Імовірність виготовлення бракованої деталі дорівнює 0,0004. Знайти ймовірність того, що серед 1000 деталей тільки 5 деталі будуть бракованими.
Рішення. n=1000; k=5; p=0,0004.
Шукана ймовірність
.
№19. Імовірність виграшу лотереї дорівнює 0,0001. Знайти ймовірність того, що з 5000 спроб виграти вдасться 3 рази.
Рішення. n=5000; k=3; p=0,0001.
Шукана ймовірність
.
4. Теорема Бернуллі про частоту ймовірності
Теорема. Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких імовірність появи події дорівнює p, абсолютна величина відхилення відносної частоти появи події від імовірності появи події не перевищить позитивного числа 
, приблизно дорівнює подвоєної функції Лапласа при 
:
.
Доказ. Будемо вважати, що виробляється n незалежних випробувань, у кожному з яких імовірність появи події А постійна й дорівнює p. Поставимо перед собою задачу знайти ймовірність того, що відхилення відносної частоти 
від постійної ймовірності p по абсолютній величині не перевищує заданого числа 
. Інакше кажучи, знайдемо ймовірність здійснення нерівності
. (*)
Замінимо нерівність (*) йому рівносильними:
.
Множачи ці нерівності на позитивний множник 
, одержимо нерівності, рівносильні вихідному:
.
Тоді ймовірність знайдемо в такий спосіб:
.
Значення функції 
перебуває по таблиці(див. додаток 2).
Приклади
№20. Імовірність того, що деталь не стандартна, p=0,1. Знайти ймовірність того, що серед випадково відібраних 400 деталей відносна частота появи нестандартних деталей відхилиться від імовірності p=0,1 по абсолютній величині не більш, ніж на 0,03.
Рішення. n=400; p=0,1; q=0,9; =0,03. Потрібно знайти ймовірність
. Користуючись формулою
,
маємо
.
По таблиці додатка 2 знаходимо 
. Отже, 
. Отже, шукана ймовірність дорівнює 0,9544.
№21. Імовірність того, що деталь не стандартна, p=0,1. Знайти, скільки деталей треба відібрати, щоб з імовірністю, рівної 0,9544, можна було затверджувати, що відносна частота появи нестандартних деталей(серед відібраних) відхилиться від постійної ймовірності p по абсолютній величині не більше ніж на 0,03.
Рішення. За умовою, p=0,1; q=0,9; =0,03; 
. Потрібно знайти n. Скористаємося формулою
.
У силу умови
Отже,
По таблиці додатка 2 знаходимо . Для відшукання числа n одержуємо рівняння 
. Звідси шукане число деталей n=400.
№22. Імовірність появи події в кожному з незалежних випробувань дорівнює 0,2. Знайти, яке відхилення відносної частоти появи події від його ймовірності можна чекати з імовірністю 0,9128 при 5000 випробуваннях.
Рішення. Скористаємося тією же формулою, з якої треба:
.
Література
1. Гмурман Е.В. Теорія ймовірностей і математична статистика. – К., 2003
2. Гмурман Е.В. Керівництво до рішення задач по теорії ймовірностей і математичній статистиці. – К., 2004.
3. Гнеденко Б.В. Курс теорії ймовірностей. – К., 2007.
4. Колемаєв В.А., Калініна В.Н., Соловйов В.И., Малихин В.І., Курочкин О.П. Теорія ймовірностей у прикладах і задачах. – К., 2004.
5. Вентцель Е.С. Теорія ймовірностей. – К., 2004
Додатки
Додаток 1
Таблиця значень функції 
