О математике как педагогической задаче

Борейко Л. Н., Савельева Ф. Н.

В чем главная задача обучения математике? Для чего учить математику? Что такое математика для человека? Этими вопросами педагоги задавались с незапамятных времен, а с середины XX века, когда процесс математизации знаний стал происходить особенно бурно, они встали с особой остротой.

В организации современного производства и торговли, в биологии и медицине, в экономике и военном деле стало уже невозможно оставаться на позициях полу интуитивных представлений, неполно определенных понятий и нечетко сформулированных вопросов. Если конструктор создает автомат для управления технологическим процессом, то для решения этой задачи недостаточно одних идей и представлений. Фразу «мешать тесто до готовности» машина не понимает. Нужны определенные и совершенно точные указания, когда остановить тот или иной процесс.

На каждом шагу своей деятельности человек сталкивается с необходимостью точных количественных методов описания разнообразных процессов. Поэтому представляется крайне важным с первых шагов овладения математическим знанием приучать учащихся не только познавать формальные математические сведения, но и учиться умело их применять к исследованию явлений природы и различных процессов, с которыми человек сталкивается на практике. Математика должна стать для человека не просто системой знаний, а полноценным и необходимым методом исследований, которые связаны с задачами ежедневной практической жизни. Она должна стать мощным инструментом познания окружающего мира. Многознание, как цель, уму не научает, учить же математику следует потому, что «она ум в порядок приводит» (М. В. Ломоносов).

Таким образом, задача обучения математике состоит не только в простом усвоении некоторой суммы математических сведений и их репродуктивном воспроизведении, но, в гораздо более значительной степени в усвоении способов открытия (приобретения) этих знаний. Эти проблемы раскрывает в своей книге «Трилогия о математике» (Изд. «Мир», М. 1980 г.) талантливый популяризатор науки, известный венгерский математик Альфред Реньи.

Яркое и глубоко философское произведение будоражит мысль читателя и может стать замечательным подспорьем для педагога в организации так называемых сократовских бесед, в ходе которых их участники могут открыть и под руководством опытного наставника самостоятельно сформулировать те или иные понятия. Так добытое знание прочнее и дороже приобретенного без творческого труда, оно становится своим собственным достоянием для человека. Метод дает возможность лучше усвоить изучаемый материал и одновременно выработать свой собственный подход. Познание становится активным.

Хочется проиллюстрировать сказанное небольшими фрагментами из «Диалогов о математике», которые открывают эту книгу, безусловно заслуживающую прочтения целиком.

Первый диалог разворачивается между Сократом, непременным участником всех диалогов древних философов, и начинающим философом Гиппократом. Гиппократ желает углубить свои знания, и Сократ постепенно помогает ему открыть предмет математических исследований, пути образования математических понятий, истоки которых находятся в непосредственном восприятии окружающего нас мира.

Сократ ставит вопрос, особенно актуальный в наше время: «Уж не думаешь ли ты, что метод, применяемый математиками при изучении чисел и геометрических фигур, пригоден только для нужд математики? Почему бы тебе не попытаться убедить людей в том, что о чем бы они ни размышляли – о насущных ли проблемах повседневной жизни или о государственном устройстве, – методы мышления остаются по существу такими же, какие применяют в своей области математики?»

И вот как разворачивается диалог.

«Сократ. Тогда скажи мне, любезный Гиппократ, чем занимаются и что изучают математики?

Гиппократ. Я спрашивал об этом у Теэтета, и он ответил мне, что математики изучают числа и геометрические фигуры.

Сократ. Ответ хорош, я сам не мог бы ответить на твой вопрос лучше. Но подумай: можно ли утверждать, что числа и геометрические фигуры существуют?

Гиппократ. Полагаю, что можно: ведь если бы они не существовали, то, как бы мы могли вообще о них говорить?

Сократ. Ты прав, но вот что меня смущает. Можно ли утверждать, что, например, простые числа существуют в том же смысле, в каком существуют небесные светила или рыбы? Существовали бы простые числа, если бы не было математиков?

Гиппократ. Я начинаю сознавать, к чему ты клонишь. Дело действительно обстоит не так просто, как мне казалось, и должен признаться, что твой вопрос ставит меня в тупик.

Сократ. Тогда я поставлю вопрос по-другому. Как, по-твоему, будут ли светила сиять в небесах, если некому будет наблюдать их, а рыбы плавать в море, если никто не станет ловить их ни для того, чтобы употребить в пищу, ни для того, чтобы исследовать их строение?

Гиппократ. Будут, конечно.

Сократ. А где были бы простые числа, если бы математики раздумали их изучать?

Гиппократ. Простых чисел не было бы нигде, потому что, когда математик размышляет о простых числах, те существуют у него в голове. Следовательно, если никто не станет думать о простых числах, то их нигде и не будет.

Сократ. Так верно ли судят о математике те, кто утверждает, будто математика занимается изучением чего-то такого, что не существует вне?

Гиппократ. Думаю, что они не ошибаются.

Сократ. А буду ли я прав, если стану утверждать, будто математика занимается изучением чего-то такого, что не существует или, по крайней мере, существует не в том смысле, в каком существуют небесные светила или рыбы?

Гиппократ. Несомненно!

Сократ. Не торопись и не давай опромет¬чивых ответов. Нет ли у тебя с собой восковой дощечки?

Гиппократ. Как не быть! Вот она.

Сократ. Следи внимательно: на дощечке я напишу какое-нибудь число, например число 29. Как, по-твоему: оно существует?

Гиппократ. Конечно, ведь мы видим его и даже можем дотронуться до него рукой.

Сократ. Значит, числа все-таки нечто существующее?

Гиппократ. Уж не хочешь ли ты посмеяться надо мной, почтенный Сократ? Смотри: я нарисовал на восковой табличке льва и дракона с семью головами. И того, и другого ты видишь своими глазами. Но львы действительно существуют, а драконов нег и в помине. По крайней мере, мне никогда не приходилось видеть дракона, и мне не встречался никто, даже среди глубоких старцев, кому на своем веку доводилось видеть дракона. Если же я ошибаюсь, и где-нибудь за Геркулесовыми столпами все же водятся драконы, то и тогда они существуют отнюдь не потому, что на этой восковой табличке я изобразил некий плод моего воображения. Если драконы вообще существуют, то они существуют, даже если бы я не нарисовал ни одного из них.

Сократ. Ты совершенно прав, дорогой Гиппократ. Сдается мне, что ты схватил истину за ворот. Значит, хотя мы и толкуем о числах или можем написать их, это еще не означает, что числа реально существуют?

Гиппократ. Да, по крайней мере, не существуют в том смысле, в каком существуют львы или небесные тела.

Сократ. Над этим следовало бы еще поразмыслить. Кое-что смущает меня по-прежнему. Скажи, можно ли сосчитать овец на лугу или корабли в гавани Пирея?

Гиппократ. Нет ничего проще!

Сократ. А существуют ли овцы и корабли?

Гиппократ. Разумеется, существуют!

Сократ. Но если существуют овцы, то разве не существуют числа, позволяющие нам пересчитывать овец? Сдается мне, что математики все же занимаются изучением чего-то существующего.

Гиппократ. Ты снова шутишь Сократ, но я не потерплю насмешек! Математики, да будет тебе известно, не ведут счет овцам. Это — занятие овцеводов, к тому же не требующее особой учености.

Сократ. Должен ли я понимать тебя так, что математики занимаются не счетом овец или кораблей, а изучением самих чисел? то есть их интересует нечто, существующее не в действительности, а лишь в их сознании?

Гиппократ. Именно так я и думаю.

Сократ. Если мне память не изменяет, ты утверждал, ссылаясь на Теэтета, что математики занимаются изучением чисел и геометрических форм. Дабы избежать поспешных выводов, попытаемся выяснить, не обстоит ли дело с геометрическими фигурами так же, как с числами? Что бы ты ответил мне, если бы я спросил, существуют ли геометрические фигуры?

Гиппократ. Ответил бы, что существуют. Ведь если гончару удастся ваза, то всякий скажет, что она красива на вид и имеет изящную форму. Геометрические фигуры мы можем видеть своими глазами, прикасаться к ним руками. Мне кажется поэтому, что у нас есть все основания считать геометрические фигуры существующими.

Сократ. Мой дорогой Гиппократ, ты так прекрасно выразил свою мысль, что почти убедил меня? Но позволь мне все же указать на одно место в твоих рассуждениях, которое мне не вполне ясно.

Гиппократ. Какое место, дорогой Сократ? Неужто и на этот раз я впал в ошибку?

Сократ. Сам посуди: что ты видишь, когда созерцаешь вазу? Саму вазу или ее форму?

Гиппократ. И то, и другое.

Сократ. Должно быть, с вазой все обстоит так же, как с овцой: когда ты видишь овцу, то видишь и овечью шерсть.

Гиппократ. Твое сравнение мне кажется весьма удачным.

Сократ. А мне сдается, что мое сравнение хромает, как Гефест. Ведь овцу можно и остричь, и тогда ты сможешь любоваться овцой без шерсти и овечьей шерстью без овцы. А можно ли вазу отделить от ее формы?

Гиппократ. Нет, этого не в силах сделать ни я, ни кто-нибудь другой.

Сократ. И все же ты утверждаешь, что геометрические фигуры можно видеть?

Гиппократ. Я усомнился в этом.

Сократ. А мне теперь кажется, что форма вазы не может существовать в отрыве от вазы. Но скажи, если бы математики действительно занимались формой ваз или горшков, то не лучше бы им было называться гончарами?

Гиппократ. Резонно!

Сократ. Но если бы математики занимались формой ваз и горшков, то Теодор был бы искуснейшим гончаром, ибо кто более его сведущ в геометрических телах и фигурах? И все же, сдается мне, Теодор не сможет вылепить из глины даже простейший сосуд.

Гиппократ. Многие хвалили мне Теодора. Поэтому-то я вознамерился пойти к нему в ученики. Но ни от кого мне не приходилось слышать, что Теодор знает толк в гончарном искусстве.

Сократ. Может быть, математики занимаются изучением форм зданий, колонн или статуй? Но тогда их следовало бы называть архитекторами или скульпторами.

Гиппократ. Ты прав.

Сократ. Кажется мне, дорогой Гиппократ, что математики все же занимаются изучением не форм существующих предметов, а самих форм в чистом виде, нимало не заботясь о том, каковы носители этих форм. Более того, математиков интересуют даже не зримые и осязаемые формы и фигуры, существующие в обычном смысле слова, а формы, существующие лишь в их воображении. Ты тоже так считаешь?

Гиппократ. Не стану спорить.

Сократ. Приведенных тобой примеров вполне достаточно. Попытаемся теперь подытожить все, к чему мы пришли. Итак, насколько можно судить, математика занимается изучением вещей, не существующих в природе, и позволяет утверждать об этих вещах неоспоримые истины. Можно ли сказанное мною считать итогом всех наших предыдущих рассуждений или же я несколько исказил их сущность?

Гиппократ. Клянусь Зевсом, ты точно выразил самую суть нашей беседы.

Сократ. Тогда скажи мне, дорогой Гиппократ, не кажется ли тебе странным, что, если верить сказанному мной, о несуществующих вещах мы знаем больше и знания наши более определенны, чем о вещах существующих?

Гиппократ. Это действительно странно, хотя понять, как такое может быть, выше моих сил. Я и не нахожу ошибок в наших рассуждениях, но меня не покидает ощущение, что где-то в них все же вкралась ошибка, только я не знаю, где именно.

Сократ. Но ведь каждый шаг в наших рассуждениях мы проверяли весьма тщательно и рассматривали со всех сторон. Ошибки здесь быть не может. Впрочем, подожди! Мне сейчас пришла в голову одна мысль, которая поможет нам объяснить эту загадку.

Гиппократ. Говори, не медли! Неопределенность мне тягостна.

Сократ. Не далее как сегодня утром я был у второго архонта *, где разбиралось дело жены плотника из деревушки Питтос. Она обвинялась в том, что нарушила супружескую верность и с помощью любовника убила мужа. Женщина упорно лгала и клялась Артемидой и Афродитой, что никого не любила так, как своего мужа, и утверждала, будто мужа убил грабитель. Были допрошены многие свидетели. Одни утверждали, что женщина виновна, другие клятвенно заверяли архонта в ее невиновности. Установить истину так и не удалось.

Гиппократ. Ты поступаешь со мной не очень-то красиво, Сократ. Вместо того чтобы помочь мне найти истину, сбиваешь с толку и рассказываешь какие-то странные истории. Может быть, ты опять вздумал вновь посмеяться надо мной?

Сократ. Ты несправедлив, дорогой Гиппократ. Я не без умысла заговорил о женщине, виновность которой невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Одно лишь можно утверждать об этой женщине со всей определенностью: она существует. Я видел ее своими глазами, да и не только я один, а все, кто собрался в зале суда у второго архонта. Я могу назвать несколько почтенных людей, заслуживающих доверия, не солгавших ни разу в жизни даже в помыслах.

Гиппократ. В этом нет ни малейшей необходимости, дорогой Сократ. Твоего свидетельства для меня вполне достаточно, но, молю тебя, скажи, какое отношение имеет эта несчастная женщина к математике?

Сократ. Гораздо большее, чем ты думаешь. Но скажи прежде, знаешь ли ты предание об Агамем¬ноне и Клитемнестре?

Гиппократ. Кто же его не знает. В прошлом году мне довелось видеть трилогию Эсхила в театре.

Сократ. Напомни кратко ее сюжет.

Гиппократ. Пока Агамемнон, царь Аргоса, вел десятилетнюю осаду Трои, его супруга Клитемне¬стра, нарушив святость брачных уз, вступила в преступную связь с двоюродным братом мужа Эгистом. Когда же после падения Трои Агамемнон возвратился домой, Клитемнестра вместе со своим любовником убила мужа.

Сократ. Скажи, Гиппократ, откуда Эсхилу стало известно, что Клитемнестра изменила мужу и убила его?

Гиппократ. Знаю, почему тебе пришло в голову расспрашивать меня о том, что хорошо известно каждому эллину. Эту историю можно найти и у Гомера: когда Одиссей был в преисподней, то встретил там тень Агамемнона, которая и поведала ему о своей печальной судьбе.

Сократ. Скажи мне, дорогой Гиппократ, а ты уверен, что Агамемнон и Клитемнестра действительно жили когда-то на свете и Гомер, повествуя о них, не уклонился от истины?

Гиппократ. Может быть, я заслуживаю, чтобы меня побили камнями, но позволь мне сказать со всей прямотой: я убежден, что по прошествии стольких веков невозможно с уверенностью сказать, жили ли такие люди, и если жили, то, как сложилась их судьба. Впрочем, это не имеет ни малейшего отношения к делу: ведь, говоря об Агамемноне и Клитемнестре, мы имеем в виду не реальных людей из плоти и крови, о которых, даже если они некогда и жили, нам известно весьма немного, а действующих лиц трагедии Эсхила, которых он изображает в духе гомеровской традиции.

Сократ. Правильно ли я тебя понял, дорогой Гиппократ? По-твоему, мы можем утверждать лишь, что о реальной Клитемнестре и реальном Агамемноне, если они когда-нибудь жили на свете, нам почти ничего не известно. Зато о Клитемнестре и Агамемноне, персонажах трагедии Эсхила, мы в праве со всей определенностью утверждать все, что нам известно о них со слов Эсхила. В частности, мы, не колеблясь, можем заявить, что Клитемнестра, о которой повествует Эсхил, изменила Агамемнону, упоминаемому в трагедии, и убила его.

Гиппократ. Ты правильно схватил суть моих слов, но я по-прежнему не понимаю, куда ты клонишь.

Сократ. Сейчас поймешь. Подумай сам, разве герои трагедии Эсхила — реально существующие люди?

Гиппократ. Нет.

Сократ. Смотри, что получается. Мы можем неопровержимо установить, что Клитемнестра из трагедии, порожденная поэтическим воображением и, по всей видимости, никогда не существовавшая в действительности, изменила другому вымышленному персонажу трагедии, Агамемнону, и убила его, хотя не можем выяснить, изменила ли живая женщина из плоти и крови, представшая сегодня перед судом, своему мужу и убила ли она его.

Гиппократ. Кажется, я начинаю догадываться, куда ты клонишь, но все же предпочел бы, чтобы ты сам сделал вывод.

Сократ. Изволь. Сдается мне, дорогой Гиппократ, что речь идет о том же, к чему мы пришли, рассуждая о математике. О несуществующих, вымышленных людях, персонажах трагедии, мы знаем несравненно больше (и знания наши носят более определенный характер), чем о людях реально существующих, живущих на земле. Что, собственно, означает наше утверждение о виновности Клитемнестры? Лишь то, что виновна Клитемнестра, вымышленная и описанная Эсхилом, поскольку ее виновность со всей очевидностью следует из трагедии. Это очень напоминает пример с прямоугольником, который ты привел со слов Теэтета, когда мы говорили о математике. Можно с уверенностью утверждать, что диагонали прямоугольника равны, поскольку это с абсолютной ясностью следует из свойств прямоугольника, каким его определяют математики.

Гиппократ. Итак, насколько я могу понять, ты, Сократ, утверждаешь, что математики занимаются изучением чего-то, существующего не в действительности, а лишь в их воображении, и располагают о своих «вымыслах» гораздо более достоверными знаниями, чем естествоиспытатели о том, что существует в действительности. Сколь ни парадоксальным кажется поначалу твое утверждение, оно, тем не менее, верно. Более того, если поразмыслить над ним, то оно перестает казаться удивительным и становится вполне естественным. Математика, занимающаяся изучением воображаемых, не существующих в природе объектов, именно потому и может устанавливать о них истину, что эти объекты такие, какими их создали. Реально существующие объекты ведут себя иначе. Они могут отличаться от общего представления о них, сложившегося у человека.

Сократ. Вот видишь, дорогой Гиппократ, ты докопался до истины и выразил ее лучше, чем смог бы сделать я сам.»

Третий диалог завершает предыдущие. В нем Альфред Реньи языком Галилея говорит о невозможности исследования законов природы в отрыве от предмета математики и ее языка. Мысль Галилея о том, что великая книга природы написана на математическом языке, и поэтому прочесть ее может только тот, кто знаком с ним, за века, прошедшие со времени Возрождения, много раз подтверждалась. Почти все технические разработки, большие и малые, описываются языком математических формул, графиков, схем. Сам математический язык не остается неизменным. По мере возникновения новых задач познания природы на математическом древе появляются новые ветви, вырастают новые корни. Математическая символика стала языком стенографической записи абстрактной мысли. Она делает научное изложение кратким и определенным, позволяет без дополнительных трудностей воспринимать сообщаемую информацию и не оставляет места для неточности выражений и расплывчатых толкований. Этот язык дает неограниченные возможности для общения с автоматом. Именно математике, как языку науки, посвящен заключительный диалог «Беседа о языке книги природы».

"Галилей. Свою мысль я выражу иначе: читать великую Книгу Природы может лишь тот, кто знает язык, на котором написана эта Книга, и язык этот — математика. Те, кто лишь болтает о природе, вместо того чтобы наблюдать ее и при помощи экспериментов заставлять рассказывать о себе, никогда не смогут по-настоящему постичь природу. Но если нам удастся заставить природу заговорить, то она заговорит на языке математики, и если мы не будем знать этого языка, то напрасными окажутся все наши старания: понять, о чем говорит с нами природа, невозможно. Заблуждается тот, кто считает (а таких, к сожалению, немало), что язык этот достаточно изучить лишь поверхностно, легко может случиться, что он не поймет то, о чем говорит природа, а если сам попытается что-нибудь сказать на языке математики, то раздастся лишь жалкий лепет. Среди естествоиспытателей найдется немало философов, которые придерживаются весьма странных (я бы сказал, даже варварских) взглядов на математику. Ныне они уже не могут отрицать, что математика необходима, но полагают, будто каждому, кто применяет математику для изучения природы, нет надобности знать ее в совершенстве. Эти недальновидные люди утверждают, что их интересуют лишь конечные результаты, и у них нет ни времени, ни желания вдаваться в детали доказательств или вникать в точные формулировки теорем. Это столь же неслыханная глупость, как если бы кому-нибудь пришло в голову заявить: «Обрежем корни и листву дерева, потому что нам нужны только его плоды». Математика — единое целое, и тот, кто хочет вкушать от ее плодов, должен, желает он того или нет, не забывать об этом.

Синьора Никколини: Не понимаю, как можно применять математику и в то же время столь безрассудно и злонамеренно идти наперекор ее духу. Я делаю в математике лишь первые шаги и знаю лишь то, что успела почерпнуть у вас, синьор Галилей, во время наших бесед, поэтому с моей стороны было бы непростительной дерзостью, если бы я вздумала высказать свое мнение по столь серьезному вопросу. Но и мне удалось кое-что понять. Впрочем, не стану вас утомлять: ведь все, о чем бы я ни захотела сказать вам, синьор Галилей: давно известно.

Галилей. Не робейте, говорите смелее. Мне очень интересно узнать, что вы извлекли для себя из наших бесед. Ваш беспристрастный взгляд нередко позволяет вам подмечать то, что ускользает от многих из моих ученых коллег.

Синьора Никколини. По-моему, нельзя считать, что понял математическую теорему, до тех пор, пока до конца не разобрался в ее доказательстве. Иногда весь смысл теоремы доходил до меня лишь после того, как вы, синьор Галилей, приводили второе доказательство ее, полностью отличное от первого. Должна признаться, что, когда вы в первый раз привели несколько доказательств одной теоремы, мне было непонятно, к чему такое обилие доказательств. «Разве не достаточно одного?» — подумала я тогда. Но потом я поняла, что знать несколько доказательств действительно полезно. Скульптуру недостаточно видеть с одной точки зрения. Ее необходимо обойти со всех сторон. Я понимаю, что трудные доказательства отпугивают многих. И я сама не раз пугалась длинной и запутанной цепочки рассуждений, которую мне предстояло проследить шаг за шагом. Я чувствовала себя, как скалолаз, с риском для жизни взбирающийся по крутому склону к вершине: стоит лишь раз оступиться, и упадешь в пропасть. Но когда удалось взобраться на вершину и перед тобой открывается не только пройденный путь, но и бескрайняя ширь, то чувствуешь себя с лихвой вознагражденным за все трудности. Сначала лишь ожидание того сладостного момента, когда содержание теоремы раскрывается во всей своей полноте, давало мне силы следить за ходом трудного доказательства, но со временем я стала замечать, что неожиданный поворот в рассуждениях или использование какого-нибудь тонкого соображения доставляет мне не меньшее наслаждение, чем музыка. Я думаю, что и скалолазам знакомо это чувство: сначала они подвергают себя тяжким испытаниям в предвкушении чудесного вида, который открывается им с вершины горы, но когда они наберутся опыта, то и сам подъем на кручи, преодоление препятствий, изыскание новых приемов скалолазания начинает доставлять им не меньшее удовольствие.

Галилей. Вы даже не знаете, сколь удачно ваше замечание. За всю мою долгую жизнь мне посчастливилось встретить лишь очень немногих учеников, которые бы столь глубоко понимали и меня самого, и дух математики. Поэтому наши беседы доставляют мне живейшую радость. Рассказывая вам что-нибудь новое, я всегда слежу за выражением ваших глаз. Стоит им загореться, как я знаю, что вы ухватили самую суть. На протяжении всей моей жизни огонь в глазах учеников всегда приносил мне глубочайшее удовлетворение. Я позволю себе сравнить этот огонь с пламенем в печи: сначала мы высекаем искру, потом раздуваем ее и лишь потом вспыхивает яркое пламя. Иные учителя пытаются преподавать математику, заставляя своих учеников выучивать наизусть правила и набивать руку нескончаемыми упражнениями. Основное значение они придают формулированию чисто механических навыков. Таких учителей я считаю круглыми невеждами, их уроки немногого стоят. Истинный учитель стремится к тому, чтобы его ученики докапывались до первопричин, постигли глубинную сущность, и всячески поощряет самостоятельность мышления. Тот, кто, не понимая, в чем суть дела, выучивает лишь рецепт, не сможет даже правильно им воспользоваться, ибо хорошо считать может тот, кто хорошо мыслит. Кто только считает, вместо того чтобы мыслить, чаще всего считает слишком сложным способом и нередко не то, что нужно. Полученный им результат не стоит и выеденного яйца, даже если все сосчитано верно. К сказанному вами я хотел бы добавить лишь два соображения. Математика полезна и даже необходима, если мы хотим познать природу и обратить на службу себе ее силы (например, строить различные машины). Но при всем том математика интересна и прекрасна, это — волнующее и увлекательное приключение человеческого разума. Я глубоко убежден, что красота математики не случайна, она заложена изначально в самой природе математики. Подлинная истина всегда прекрасна, а подлинная красота всегда истинна. Древние греки отлично это знали. Те же философы, о которых я сказал, что они придерживаются варварских взглядов на математику, этого не понимают. Они не воспринимают красоту математики, не приближаются к математике настолько, чтобы можно было явственно ощутить ее красоту. Если кому-нибудь из них все же случится заметить, как прекрасна математика, то к своему наблюдению он относится с подозрением. Красоту эти слепцы считают излишней роскошью и полагают, что, отворачиваясь от прекрасного, они становятся ближе к действительности. Им доставляет наслаждение именовать себя практиками. К тем же, кто проникся истинным духом математики, они относятся с презрением и называют их фантастами, витающими в облаках. Нет ничего более беспочвенного, чем высокомерие, которым эти люди пытаются скрыть свою ограниченность. Движимый тем же высокомерием, Александр Великий разрубил мечом гордиев узел, когда понял, что не в силах развязать его. При дворах восточных тиранов искусство и наука действительно были роскошью. Но уже у древних греков искусство и наука стали неотделимой частью жизни. Действуя различными средствами, они служили единой цели: познанию человеком самого себя и окружающего мира. Теперь, две тысячи лет спустя, мы, наконец, можем продолжить то, что начали древние греки. И начать нам следует с того, на чем остановился Архимед.

Синьора Никколини. Вы совершенно правы, и наши художники также считают себя преемниками античного искусства. Но, синьор Галилей, вы упомянули о двух замечаниях, а сделали только одно. Где же второе?

Галилей. Мое второе замечание тесно связано с первым. До сих пор я говорил о красоте математики, о радости, которую доставляет постижение математических истин, заставляющей глаза сиять от восторга. В этом отношении математика весьма близка к искусству, волнующему и трогающему нас встречей с прекрасным. Однако эта радость дается не даром, чтобы ощутить ее, необходимо упорно работать. Ваше сравнение со скалолазами весьма удачно, поскольку затрагивает и эту сторону дела. Любое сколько-нибудь заметное продвижение в математике требует напряженной работы ума. Но тот, кто испытал радость познания, постиг красоту математики, не сочтет чрезмерной платой любое напряжение сил. Одну из главных целей обучения математике я вижу в том, чтобы приобщать начинающих к красоте математики и, опираясь на нее, вырабатывать дисциплинированное логическое мышление и умение сосредоточивать всю силу разума на решаемой задаче. Без этих качеств в математике невозможно достичь успеха. И последнее: тот, кто, занимаясь математикой, приобщится к искусству логического мышления, сможет пользоваться им во всех областях жизни.»

После выхода в свет на русском языке этот труд по достоинству оценили отечественные математики. Академик. Б. В. Гнеденко в своем предисловии к книге пишет: «Нередко случается, что во время занятий учащиеся о чем- то переспрашивают и в ответ на свой вопрос слышат те же слова, что и прежде. Как правило, это происходит не оттого, что они их не расслышали первоначально, а просто по какой- то причине сказанное не дошло до их сознания. Что же может добавить повторение того, что уже не было понято? Вот почему при повторном объяснении непременно следует найти новые слова, новый аспект подачи, который бы пробил путь к сознанию учащегося. Наш студент написал по этому поводу: «Этот метод обладает неоспоримыми преимуществами, главное из которых состоит в том, что он приучает аудиторию мыслить самостоятельно, критически». Показать математику в действии как элемент познания процессов природы, экономики и техники – вот один из обязательных элементов обучения математики».

В заключении хочется присоединиться именно к такому пониманию педагогического значения математики.

* Второй архонт, базилевс (греч.), — один из девяти высших сановников в Афинах, ведавший культом и разбором дел, связанных с оскорблением религии и убийствами.