Метод вращений решения СЛАУ

Как утверждается в книге известного американского математика Валяха, 75% всех расчетных математических задач приходится на решение СЛАУ. Это не удивительно, так как математические модели тех или иных явлений или процессов либо сразу строятся как линейные алгебраические, либо сводятся к таковым посредством дискретизации и/или линеаризации. Поэтому трудно переоценить роль, которую играет выбор эффективного способа решения СЛАУ. Современная вычислительная математика располагает большим арсеналом методов, а математическое обеспечение ЭВМ – многими пакетами прикладных программ, позволяющих решать различные возникающие на практике линейные системы. Чтобы ориентироваться среди методов и программ и в нужный момент сделать оптимальный выбор нужно разбираться в основе построений методов и алгоритмов, учитывающих специфику постановок задач, знать их сильные и слабые стороны и границы применимости.

1 Теоретический обзор

1.1 Прямые методы

математический модель итерация погрешность

Все методы решения линейных алгебраических задач можно разбить на два класса: прямые и итерационные. Прямые методы – это такие методы, которые приводят к решению за конечное число арифметических операций. Если операции реализуются точно, то и решение также будет точным (в связи с чем к классу прямых методов применяют название точные методы). Итерационные методы – это методы в которых точное решение может быть получено лишь в результате бесконечного повторения единообразных действий.

Эффективность способов решения системы

 или

иначе, векторно-матричных уравнений Ах=f, где f=(f1, f2, …,fn)T – вектор свободных членов и

х=( х1, х2, …,хn)T – вектор неизвестных, а  – вещественная n×n-матрица коэффициентов данной системы, во многом зависит от структуры и свойств матрицы А : размера, обусловленности, симметричности, заполненности и др.

Так размерность системы (т.е число n) является главным фактором, заставляющим вычислителей отвернуться от весьма привлекательных в теоретическом плане и приемлемых на практике при небольших n формул Крамера.

2.1 Таблица идентификаторов

trrr(a,f,x,m)		Функция, возвращающая матрицу невязок
prr(a,r,m)		Функция, возвращающая матрицу поправок
maxv(v,el)		Функция, возвращающая модуль максимального элемента вектора v
switchColumns(A,n1,n2,m)		Функция, возвращающая матрицу, полученную из А путем перестановки n1-ого и n2-ого столбцов
Podgotovka(A,m)		Функция, возвращающая 2 матрицы: матрицу, полученную из A перестановкой столбцов и пригодную для проведения вычислений; вектор, содержащий порядок следования неизвестных (1, 2,… n для x1, x2…xn соответственно) в уравнениях
rotation(a,f,m,e)		Функция, реализующая метод вращения. Возвращает 2 матрицы: неизвестных и поправок
a	Матрица коэффициентов
f	Матрица свободных членов
x	Матрица неизвестных
m	Количество неизвестных
e	Точность, с которой необходимо производить вычисления

2.2 Листинг программы

2.3 Пример.

Подсчитаем матрицу неизвестных(Otvet1) и матрицу поправок(Otvet2)

Для сравнения, погрешность метода Гаусса:

Таким образом, можно говорить о том, что, действительно, метод вращений более точен.

2.4 Сравнительная таблица

Заключение

В данной работе был рассмотрен метод релаксации решения систем линейных алгебраических уравнений. Была подробно рассмотрена теоретическая часть, из которой выводятся различные формулы для реализации данного метода. А также было выполнено сравнение метода релаксации с методами простой итерации и Зейделя. Программная реализация выше описанных методов представлена в приложении А.

По результатам работы можно сделать следующие выводы. Во-первых, скорость сходимости метода релаксации превышает скорости сходимости методов простой итерации и Зейделя. Во-вторых, скорость сходимости напрямую зависит от выбора параметра релаксации. Таким образом, данный метод удобен для решения СЛАУ средней размерности.

Еще одно достоинство итерационного метода верхних релаксаций состоит в том, что при его реализации на ЭВМ алгоритм вычислений имеет простой вид и позволяет использовать всего один массив для неизвестного вектора.

Библиографический список

1) Вержбицкий В. М. Основы численных методов: Учеб. пособие для вузов / В. М. Вержбицкий. - М. : Высш. шк. , 2002. - 840 с.

2) И.Г. Серебренникова, Г.М. Коринченко, Вычислительная математика. МГТУ им Г.И. Носова 2003г. 146с

3) Е. Волков.Численные методы. М.,1987, 248 с.

4) А. И. Плис, Н. А. Сливина. Лабораторный практикум по высшей математике. - М.: "Высшая школа", 1983.

5) Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978, 512 с.

6) Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -М.: Наука, 1966 г., 664 стр.

7) Фадеев Д.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М. Физматлит, 1960.

8) Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. - М.: Наука, 1977. - 304 с.

9) А. Самарский. Введение в численные методы. М.,1988, 270 с.