Ссылка на архив

Курсовая работа по прикладной математике

Министерство общего и профессионального образования

Российской Федерации

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ

ИНСТИТУТ ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ

Контрольная работа

по дисциплине «Прикладная математика»

Специальность Бухгалтерский учет и аудит

Курс 2

Группа БуиА-6-99/2

Студент

Студенческий билет №

ВАРИАНТ №25

Адрес

« » мая 2001г.

Проверил:

____________________/ /

«___»_______________2001г.

Москва 2001г.


Задача №1. Линейная производственная задача.

Предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя для этого три вида ресурсов. Известны технологическая матрица А затрат любого ресурса на единицу каждой продукции, вектор В объемов ресурсов и вектор С удельной прибыли

4 0 8 7 316

А= 3 2 5 1 В= 216 С=(31, 10, 41, 29)

5 6 3 2 199

Найти производственную программу (х1, х2, х3, х4), максимизирующую прибыль

z=31х1+10х2+41х3+29х4

Затраты ресурсов 1-го вида на производственную программу

1+0х2+8х3+7х4≤316

Затраты ресурсов 2-го вида на производственную программу

1+2х2+5х34≤216

Затраты ресурсов 3-го вида на производственную программу

1+6х2+3х3+2х4≤199

Имеем

1+0х2+8х3+7х4≤316

1+2х2+5х34≤216 (1)

1+6х2+3х3+2х4≤199

где по смыслу задачи

х1≥0, х2≥0, х3≥0, х4≥0. (2)

Получена задача на нахождение условного экстремума. Для ее решения систему неравенств (1) при помощи дополнительных неизвестных х5, х6, х7 заменим системой линейных алгебраических уравнений

1+0х2+8х3+7х45=316 (I)

1+2х2+5х3+ х46=216 (II) (3)

1+6х2+3х3+2х47=199 (III)

где дополнительные переменные имеют смысл остатков соответствующих ресурсов, а именно

х5 – остаток сырья 1-го вида,

х6 – остаток сырья 2-го вида,

х7 – остаток сырья 3-го вида.

Среди всех решений системы уравнений (3), удовлетворяющих условию неотрицательности

х1≥0, х2≥0, х3≥0, х4≥0, х5≥0, х6≥0, х7≥0 (4)

надо найти то решение, при котором функция

z=31х1+10х2+41х3+29х4

будет иметь наибольшее значение

Организуем направленный перебор базисных решений при помощи симплекс метода.

Из функции z(x) видно, что наиболее выгодно начать производство с 3-го ресурса.

Найдем ведущее уравнение:

bi 316 216 199 316

min ------- = ----- ----- ----- = -----

ai3>0 8 5 3 8

Примем I-е уравнение за ведущее. Решаем симплекс методом:

С

Базис

Н31104129000Поясне-ния

х1

х2

х3

х4

х5

х6

х7

0

х5

3164087100
0

х6

2163251010
0

х7

1995632001

z0-z

0-z-31-10-41-29000
41

х3

39,51/2017/81/800

0

х6

18,51/220-27/8-5/810
0

х7

80,57/260-5/8-3/801

z0-z

1619,5-21/2-10055/841/800
41

х3

280-6/7154/5610/560-1/7Все ∆j≥0
0

х6

708/70-23/7-4/71-1/7
31

х1

23112/70-10/56-6/5602/7

z0-z

18610805403

Оптимальная производственная программа:

х1=23, х2=0, х3=28, х4=0

Остатки ресурсов:

Первого вида – х5=0;

Второго вида – х6=7;

Третьего вида – х7=0

Максимальная прибыль zmax=1861

Обращенный базис Q-1

10/56 0 -1/7

Q-1= -4/7 1 -1/7

-6/56 0 2/7

х5х6х7

Базис Q

8 0 4

Q= 5 1 3

3 0 5

х3 х6 х1

Самопроверка.

10/56•8+0•5-1/7•3 10/56•0+0•1-1/7•0 10/56•4+0•3-1/7•5 1 0 0

Q-1 •Q= -4/7•8+1•5-1/7•3 -4/7•0+1•1-1/7•0 -4/7•4+1•3-1/7•5 = 0 1 0

-6/56•8+0•5+2/7•3 -6/56•0+0•1+2/7•0 -6/56•4+0•3+2/7•5 0 0 1


10/56•316+0•216-1/7•199 28

Q-1 •B= -4/7•316+1•216-1/7•199 = 7

-6/56•316+0•216+2/7•199 23


Задача №2. Двойственная задача.

Предприниматель Петров, занимающийся производством других видов продукции, но с использованием 3-х таких же видов ресурсов, какие имеются у нас, предлагает нам продать ему по определенным ценам все имеющиеся у нас ресурсы и обещает заплатить у1 за каждую единицу 1-го ресурса

у2 за каждую единицу 2-го ресурса

у3 за каждую единицу 3-го ресурса.

В нашей задаче технологическая матрица А, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С имеют вид

4 0 8 7 316

А= 3 2 5 1 В= 216 С=(31, 10, 41, 29)

5 6 3 2 199

для производства единицы продукции 1-го вида мы должны затратить, как видно из матрицы А 4 единицы ресурса 1-го вида, 3 единицы ресурса 2-го вида, 5 единиц ресурса 3-го вида.

В ценах у1, у2, у3 наши затраты составят

1+3у2+5у3≥31

Аналогично, во 2-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 2-го вида

2+6у3≥10

Аналогично, в 3-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 3-го вида

1+5у2+3у3≥41

Аналогично, в 4-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 4-го вида

12+2у3≥29

Учтем, что за все имеющиеся у нас ресурсы нам должны заплатить

316у1+216у2+199у3

Таким образом, проблема определения расчетных оценок ресурсов приводит к задаче линейного программирования: найти вектор двойственных оценок

У=(у1, у2, у3)

Минимизирующий общую оценку всех ресурсов

f=316у1+216у2+199у3

при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции:

1+3у2+5у3≥31

2+6у3≥10

1+5у2+3у3≥41

12+2у3≥29

При этом оценки ресурсов не могут быть отрицательными

у1≥0, у2≥0, у3≥0

На основании 2-й основной теоремы двойственности

Х=(х1, х2, х3, х4) и у=(у1, у2, у3)

Необходимо и достаточно выполнения условий

х1(4у1+3у2+5у3-31)=0

х2(2у2+6у3-10)=0

х3(8у1+5у2+3у3-41)=0

х4(7у12+2у3-29)=0

Учитывая, что в решении исходной задачи х1>0, x3>0

Поэтому

1+3у2+5у3-31=0

1+5у2+3у3-41=0

Учтем, что 2-й ресурс был избыточным и, согласно теореме двойственности, его двойственная оценка равна нулю у2=0

Имеем систему уравнений

1+3у2+5у3-31=0

1+5у2+3у3-41=0

Решим систему:

1+5у3=31

у1=(31-5у3)/4

8((31-5у3)/4)+3у3=41

-7у3=-21

у1=(31-15)/4

откуда следует

у1=4, у3=3

Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов

у1=4, у2=0, у3=3

Общая оценка всех ресурсов

f=316у1+216у2+199у3

f=1264+0+597=1861


Задача №2.1. Задача о «расшивке узких мест производства».

При выполнении оптимальной производственной программы 1-й и 3-й ресурсы используются полностью, образуя «узкие места производства». Их необходимо заказать дополнительно.

Пусть Т=(t1, 0, t3) – вектор дополнительных объемов ресурсов.

Так как мы предполагаем использовать найденные двойственные оценки ресурсов, то должно выполняться условие

Н+ Q-1Т≥0

Необходимо найти вектор

Т=(t1, 0, t3)

максимизирующий суммарный прирост прибыли

w=4t1+3t3

28 10/56 0 -1/7 t1 0

7 + -4/7 1 -1/7 · 0 ≥ 0

23 -6/56 0 2/7 t3 0

Предполагаем, что дополнительно можно получить не более 1/3 первоначального объема ресурса каждого вида

t1 316

0 ≤ 1/3 216

t3 199

где t1≥0, t3≥0

10/56t1-1/7t3≥-28

-4/7t1-1/7t3≥-7

-6/56t1+2/7t3≥-23


-10/56t1+1/7t3≤28

4/7t1+1/7t3≤7

6/56t1-2/7t3≤23

t1≤316/3, t3≤199/3

t1≥0, t3≥0

t1

t3

I-156,80
I0196
II12,250
II049
III214,660
III0-80,5
IV105,330
V066,33

Программа расшивки имеет вид

t1=0, t2=0, t3=49

и прирост прибыли составляет

w=4t1+3t3=3∙49=147

Сводка результатов приведена в таблице:

Сj

31104129b

x4+i

yi

ti

aij

4087316040
3251216700
56321990349

xj

2302801861147

j

0805

Задача №3. Транспортная задача линейного программирования.

Исходные данные:

31 40 41 49

45 4 5 8 6

60 3 2 5 1

65 5 6 3 2

Общий объем производства ∑аi=45+60+65=170 единиц продукции.

Потребителям требуется ∑bi=31+40+41+49=161 единиц продукции.

Так как продукции производится больше на 9 единиц, чем требуется потребителям, то мы имеем открытую модель транспортной задачи. Для превращения ее в закрытую вводим фиктивный пункт потребления с объемом 9 единиц. Для нахождения первого базисного допустимого решения используем правило «северо-западного угла».

b1=31

b2=40

b3=41

b4=49

b5=9

a1=45

3114*

p1=0

a2=60

2634

p2=-3

a3=65

7499

p3=-5

q1=4

q2=5

q3=8

q4=7

q5=5

Θ=9 z(x1)=31·4+14·5+26·2+34·5+7·3+49·2+9·0=535

b1=31

b2=40

b3=41

b4=49

b5=9

a1=45

3159

p1=0

a2=60

3525*

p2=-3

a3=65

16499

p3=-5

q1=4

q2=5

q3=8

q4=7

q5=5

Θ=25 z(x2)=31·4+5·5+35·2+25·5+16·3+49·2+9·0=490

b1=31

b2=40

b3=41

b4=49

b5=9

a1=45

3159

p1=0

a2=60

3525

p2=-3

a3=65

4124

p3=-2

q1=4

q2=5

q3=5

q4=4

q5=

z(x3)=31·4+5·5+35·2+25·1+41·3+24·2+9·0=415

Задача №4. Динамическое программирование. Распределение капитальных вложений.

Исходные данные:

xj

0100200300400500600700

f1(xj)

010233038434952

f2(xj)

013253748556166

f3(xj)

016303744485049

f4(xj)

010172329343841

Для решения используем метод «северо-восточной диагонали».

-x2

0100200300400500600700

x2

010233038434952
00010233038434952
1001313233643515662
20025253548556368
300373747606775
4004848587178
50055556578
600616171
7006666
0100200300400500600700

F2( )

013253748607178

x2( )

0100200300200300400500

-x3

0100200300400500600700

x3

013253748607178
00013253748607178
1001616294153647687
20030304355677890
300373750627485
4004444576981
50048486173
600505063
7004949
0100200300400500600700

F3( )

016304355677890

x3( )

0100200200200200200200

-x4

0100200300400500600700

x4

016304355677890
00090
1001088
2001784
3002378
4002972
5003464
6003854
7004141

x4*=x4(700)=0

x3*=x3(700-x4*)=x3(700)=200

x2*=x2(700-x4*-x3*)=x2(700-200)=x2(500)=300

x1*=700-x4*-x3*-x2*=700-0-200-300=200

x1=200

x2=300

x3=200

x4=0


Задача №5. Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг.

Исходные данные:

m0

m1

m2

s1

s2

24678