Аксиоматика теории множеств

Значение математической логики в нашем и прошлом столетии сильно возросло. Главной причиной этого явилось открытие парадоксов теории множеств и необходимость пересмотра противоречивой интуитивной теории множеств. Было предложено много различных аксиоматических теорий для обоснования теории множеств, но как бы они не отличались друг от друга своими внешними чертами, общее для всех них содержание составляют те фундаментальные теоремы, на которые в своей повседневной работе опираются математики. Выбор той или иной из имеющихся теорий является в основном делом вкуса; мы же не предъявляем к системе, которой будем пользоваться, никаких требований, кроме того, чтобы она служила достаточной основой для построения современной математики.

§1. Система аксиом

Опишем теорию первого порядка NBG, которая в основном является системой того же типа, что и система, предложенная первоначально фон Нейманом (1925), (1928), а затем тщательно пересмотренная и упрощенная Р. Робинсоном (1937), Бернайсом (1937—1954) и Гёделем (1940). (Будем в основном следовать монографии Гёделя, хотя и с некоторыми важными отклонениями.) Теория NBG имеет единственную предикатную букву и не имеет ни одной функциональной буквы или предметной константы. Чтобы быть ближе к обозначениям Бернайса (1937—1954) и Гёделя (1940), мы будем употреблять в качестве переменных вместо x₁, x₂, … прописные латинские буквы X₁, Х₂, ... (Как обычно, мы используем буквы X,Y, Z, ... для обозначения произвольных переменных.) Мы введем также сокращенные обозначения ХY для(X, Y) и XY для (X, Y). Содержательно знак понимается как символ отношения принадлежности.

Следующим образом определим равенство:

Определение. Х=Y служит сокращением для формулы .

Таким образом, два объекта равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов.

Определение. служит сокращением для формулы (включение).

Определение. XY служит сокращением для Х YX ≠Y(собственное включение).

Из этих определений легко следует

Предложение 1.

(а) Х = Y (X YYX);

(b) Х = Х;

(с) Х = YY= Х;

(d) Х = Y (Y = ZХ = Z);

(е) Х = Y (ZXZY).

Теперь приступим к перечислению собственных аксиом теории NBG, перемежая формулировки самих аксиом различными следствиями из них и некоторыми дополнительными определениями. Предварительно, однако, отметим, что в той «интерпретации», которая здесь подразумевается, значениями переменных являются классы. Классы — это совокупности, соответствующие некоторым, однако отнюдь не всем, свойствам (те свойства, которые фактически определяют классы, будут частично указаны в аксиомах. Эти аксиомы обеспечивают нам существование необходимых в математике классов и являются, достаточно скромными, чтобы из них нельзя было вывести противоречие). (Эта «интерпретация» столь же неточна, как и понятия «совокупность», «свойство» и т. д.)

Назовем класс множеством, если он является элементом какого-нибудь класса. Класс, не являющийся множеством, назовем собственным классом.

Определение. M(X) служит сокращением для Y(XY) (X есть множество).

Определение. Pr(X) служит сокращением для M(X) (X есть собственный класс).

В дальнейшем увидим, что обычные способы вывода парадоксов приводят теперь уже не к противоречию, а всего лишь к результату, состоящему в том, что некоторые классы не являются множествами. Множества предназначены быть теми надежными, удобными классами, которыми математики пользуются в своей повседневной деятельности; в то время как собственные классы мыслятся как чудовищно необъятные собрания, которые, если позволить им быть множествами (т. е. быть элементами других классов), порождают противоречия.

Система NBG задумана как теория, трактующая о классах, а не о предметах. Мотивом в пользу этого послужило то обстоятельство, что математика не нуждается в объектах, не являющихся классами, вроде коров или молекул. Все математические объекты и отношения могут быть выражены в терминах одних только классов. Если же ради приложений в других науках возникает необходимость привлечения «неклассов», то незначительная модификация системы NBG позволяет применить ее равным образом как к классам, так и к «неклассам» (Мостовский (1939)).

Мы введем строчные латинские буквы x₁, x₂, … в качестве специальных, ограниченных множествами, переменных. Иными словами, x₁ A (x₁) будет служить сокращением для X (M(X)A (X)) , что содержательно имеет следующий смысл: «A истинно для всех множества, и x₁ A (x₁)будет служить сокращением для X (M(X)A (X)), что содержательно имеет смысл: «A истинно для некоторого множества». Заметим, что употребленная в этом определении переменная X должна быть отличной от переменных, входящих в A (x₁). (Как и обычно, буквы х, y, z, ... будут употребляться для обозначения произвольных переменных для множеств.)

П р и м е р. Выражение ХхyZA (X, х, y, Z) служит сокращением для

ХX_j (М(X_j)Y(M(Y)&ZA (X, X_j, Y, Z))).

А к с и о м а Т. (Аксиома объемности.) Х = Y(XZYZ).

Предложение 2. Система NBG является теорией первого порядка с равенством.

А к с и о м а Р. (Аксиома пары.)xyzu (uzu = xu = y), т. е. для любых множеств х и у существует множество z такое, что х и у являются единственными его элементами.

А к с и о м а N. (Аксиома пустого множества.) хy(у х), т. е. существует множество, не содержащее никаких элементов.

Из аксиомы N и аксиомы объемности следует, что существует лишь единственное множество, не содержащее никаких элементов, т. е.

₁xy(у х). Поэтому мы можем ввести предметную константу 0, подчиняв ее следующему условию.

Определение. y(y0).

Так как выполнено условие единственности для неупорядоченной пары, то можем ввести новую функциональную букву g(х, y) для обозначения неупорядоченной пары х и у. Впрочем вместо g(х, y) мы будем писать {х, у}. Заметим, что можно однозначно определить пару {X, Y} для любых двух классов Х и Y, а не только для множеств х и у. Положим {X, Y} = 0, если один из классов X, Y не является множеством. Можно доказать, что

_NBG1Z((M(X)&M(Y)&u (uZu = Xu = Y))

((M(X) M(Y))&Z=0)).

Этим оправдано введение пары {X, Y}:

Определение. (М(Х) & М(Y) &u(и {X, Y} u = Xu = Y))

((M(X)M(Y)) & {X, Y} = 0).

Можно доказать, что _NBGxyu (u{х, у}u = xu = y) и _NBGxy (M({х, у})).

Определение. = {{Х}, {X, Y}}. называется упорядоченнойпарой классов Х и Y.

Никакого внутреннего интуитивного смысла это определение не имеет. Оно является лишь некоторым удобным способом (его предложил Ку-ратовский) определить упорядоченные пары таким образом, чтобы можно было доказать следующее предложение, выражающее характеристическое свойство упорядоченных пар.

Предложение 3.

_NBGxyuv ().

Доказательство. Пусть = . Это значит, что {{x}, {x, y}} = {{u}, {u, v}}. Так как {х} {{x}, {x, y}}, то {x} {{u}, {u, v}}. Поэтому {x} = ={u} или {х} = {u, v}. В обоих случаях х = и. С другой стороны, {u, v} {{u}, {u, v}} и, следовательно, {u, v} {{x}, {x, y}}. Отсюда {u, v} = {x} или {u, v} = ={x, y}. Подобным же образом {x, y} = {u} или {х, у}={и, v}. Если или {u, v} = ={x} и {х, y}= {u}, то х = и = у = v, в противном случае {и, v} = {х, у} и, следовательно, {и, v} = {u, у}. Если при этом v ≠ u, то y = v, если же v = u, то тоже y = v. Итак, в любом случае, y = v.

Мы теперь обобщим понятие упорядоченной пары до понятия упорядоченной -ки.

Определение

= Х,

Так, например,

и

В дальнейшем индекс NBG в записи _NBGопускается.

Нетрудно доказать следующее обобщение предложения 3:

Аксиомы существования классов.

Эти аксиомы утверждают, что для некоторых свойств, выраженных формулами, существуют соответствующие классы всех множеств, обладающих этими свойствами.

А к с и о м а В1. Xuv(Xuv) (- отношение).

А к с и о м а В2. XYZu (uZuXuY)

(пересечение).

А к с и о м а В3. XZu (uZuX) (дополнение).

А к с и о м а В4. XZu (uZv (X)) (область

определения).

А к с и о м а В5. XZuv (ZuX).

А к с и о м а В6. XZuvw (ZX).

А к с и о м а В7. XZuvw (ZX).

С помощью аксиом В2—В4 можно доказать

X Y ₁Z u (u Z u X & u Y),

X ₁Zu (u Z u x),

X₁Zu (uZv (X)).

Эти результаты оправдывают введение новых функциональных букв ∩, −, D.

Определения

u (uX∩ YuXuY) (пересечение классов Х и Y).

u (uuX) (дополнение к классу X).

u (u D (X) v (X)) (область определения класса X).

(объединение классов Х иY).

V = (универсальный класс).

X−Y = X∩

Общая теорема о существовании классов.

Предложение 4. Пусть φ (X₁,…,X_n, Y₁,…, Y_m) – формула, переменныекоторойберутся лишь из числа X₁,…,X_n, Y₁,…, Y_m. Назовём такую формулу предикативной, если в ней связными являются только переменные для множеств (т.е. если она может быть приведена к такому виду с помощью принятых сокращений). Для всякой предикативной формулы φ (X₁,…,X_n, Y₁,…, Y_m)

Zx₁ …x (Z φ (x₁,…,x_n, Y₁,…, Y_m)).

Доказательство. Мы можем ограничиться рассмотрением только таких формул φ, которые не содержат подформул вида Y_iW, так как всякая такая подформула может быть заменена на x (x = Y_ixW), что в свою очередь эквивалентно формуле x (z (zxzY_i) & xW). Можно также предполагать, что в φ не содержатся подформулы вида XX, которые могут быть заменены на u (u = XuX), последнее же эквивалентно u (z (zuzX) & uX). Доказательство проведем теперь индукцией по числу k логических связок и кванторов, входящих в формулу φ (записанную с ограниченными переменными для множеств).

1. Пусть k = 0. Формула φ имеет вид x_ix_j, или x_jx_i, или x_iY_i, где 1 ≤ i< j ≤ . В первом случае, по аксиоме В1, существует некоторый класс W₁ такой, что

x_ix_j (W₁x_i x_j).

Во втором случае, по той же аксиоме, существует класс W₂ такой, что

x_ix_j(W₂x_jx_i),

и тогда, в силу

XZuv (ZX),

существует класс W₃ такой, что

x_ix_j(W₃x_jx_i).

Итак, в любом из первых двух случаев существует класс W₃ такой, что

x_ix_j(Wφ (x₁,…,x_n, Y₁,…, Y_m)).

Тогда, заменив в

XZ v₁…v_kuw ( Z X)

XнаW, получим, что существует некоторый класс Z₁ такой, что

x₁… x_i-1x_ix_j (Z₁ φ (x₁,…,x_n, Y₁,…, Y_m)).

Далее, на основании

XZ v₁…v_mx₁…x (

ZX)

там же при Z₁ = X, заключаем, что существует класс Z₂ такой, что

x₁ … x_i x_i+1 … x_j ( Z₂φ (x₁,…,x_n, Y₁,…, Y_m)).

Наконец, применяя

XZ v₁…v_mx₁…x ( Z X)

(1)

там же при Z₂ = Х, получаем, что существует класс Z такой, что

x₁…x (Zφ (x₁,…,x_n, Y₁,…, Y_m)).

Для остающегося случая x_iY_iтеорема следует из (1) и

XZ x v₁…v_m ( Z x X).

2. Предположим, что теорема доказана для любого k< и что φ содержит логических связок и кванторов.

(a) φ есть ψ. По индуктивному предположению, существует класс W такой, что

x₁…x (Wψ (x₁,…,x_n, Y₁,…, Y_m)).

Теперь остается положить Z = .

(b) φ есть ψ θ. По индуктивному предположению, существуют классы Z₁ и Z₂ такие, что

x₁…x (Z₁ ψ (x₁,…,x_n, Y₁,…, Y_m)) и

x₁…x (Z₂ θ (x₁,…,x_n, Y₁,…, Y_m)).

Искомым классом Z в этом случае будет класс .

(c) φ есть x ψ. По индуктивному предположению, существует класс W такой, что

x₁…xx (Wψ (x₁,…, x_n, x, Y₁,…, Y_m)).

Применим сперва

XZ x₁ … x(Zy ( X)).

при X= и получим класс Z₁ такой, что

x₁ … x(Z₁x ψ (x₁,…, x_n, x, Y₁,…, Y_m)).

Теперь положим окончательно Z = , замечая, что x ψ эквивалентно

x ψ.

Примеры. 1. Пусть φ (X, Y₁, Y₂) есть формула uv (X = uY₁vY₂). Здесь кванторы связывают только переменные для множеств. Поэтому, в силу теоремы о существовании классов, Zx (xZuv (x = uY₁vY₂)), а на основании аксиомы объемности, ₁Zx (xZuv (x = uY₁vY₂)). Поэтому возможно следующее определение, вводящее новую функциональную букву :

Определение. x (xY₁Y₂uv (x = uY₁vY₂)). (Декартово произведение классов Y₁ и Y₂).

Определения.

X²обозначает XX(в частности, V² обозначает класс всех упорядоченных пар).

…