Расчет поля симметричного распределения зарядов в неоднородной среде по теореме Гаусса
М.И. Векслер, Г.Г. Зегря
Рассмотрим пример сферической системы ρ = ρ(r), кроме того, возможно, имеются заряженные сферы (Ri, σi) и/или точечный заряд qc в центре. Помимо этого, ε = ε(r). Согласно теореме Гаусса,
| qinside = 4π r2 Dr = 4π ε0ε(r) r2 Er | (31) |
| (32) |
| (33) |
При наличии только объемного стороннего заряда ρ
| (34) |
В точках разрыва ε(r) (на стыке двух диэлектриков) или qinside(r) (в момент "перехода" через заряженную сферу) соответствующая производная ε'(r) или qinside'(r) имеет разрыв. При этом поверхностный связанный заряд составляет:
| (35) |
Другие значения r проверять на наличие связанного заряда бессмысленно, так как там заведомо σ' = 0.
Задача. Имеются две концентрические заряженные сферы (σ1, R1 и σ2, R2). Найти Er(r), φ(r) и σ ', если пространство между сферами заполнено однородным диэлектриком с проницаемостью ε.
Решение Такая задача, только без диэлектрика между обкладками, уже была решена нами с использованием теоремы Гаусса. Единственным отличием здесь будет связь Dr(r) и Er(r) в области R1 Как и раньше, причем Поле на каждом из участков будет При вычислении потенциала мы должны вычислить В некоторых выражениях для φ(r) (но не всюду!) появилась дополнительная величина ε. Для нахождения σ ' на сферах r = R1 и r = R2 нам потребуются значения поляризованности с обеих сторон каждой из сфер: Нулевые значения появились из-за отсутствия диэлектрика в областях r Легко проверить, что суммарный связанный заряд, то есть Задача. Шар радиуса R равномерно заряжен по объему сторонним зарядом ρ. Проницаемость шара ε. Найти Er(r), φ(r), ρ'(r), σ' на краю шара. Ответ: 1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с. 2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с. 3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.qinside = 4π r2 Dr(r) qinside = 0 при r 4πσ1R12 при R1 4πσ1R12+4πσ2R22 при r>R2 Er = 0 при r 
R_2">
. При этом необходимо правильно выписывать Er на каждoм участке: φ(r) = 
= 
φ(r) = 
= 
φ(r) = 
= 
R_2">
, 
, 
и 
(на других поверхностях никакого связанного заряда нет): = 
= 
, равен нулю, как и должно быть. 
R;">
R;">
.