Итерационный метод решения проблемы собственных значений
Курсовая работа
«Численные методы в экономике»
Тема: «Итерационный метод решения проблемы собственных значений»
В данной работе спроектирована программа, реализующая метод скалярного произведения для нахождения максимального собственного числа матрицы. Для проверки предлагается нахождение собственных чисел (векторов) симметричной матрицы. При этом исследуется влияние вектора начального приближения к решению и значения допустимой ошибки на время вычислений и число итераций.
Найдем собственные значения исходной матрицы, используя функцию eig.
Получим
L1= -5.5251
0.2841
3.4399
4.3911
Решение исходной задачи
Исходные данные:
yn=(1,1,1,1);
ed=0.00001;
a=(1.255 1.340 -1.316 0;
1.340 2.526 0 0.516;
-1.316 0 -1.743 4.628;
0 0.516 4.628 0.552);
Данные, полученные при выполнении программы:
y = -0.1501 m = 34 L1 = -5.5251 t = 0
-0.0135
-0.7853
0.6005
График значений собственного числа заданной матрицы за время итерационного процесса
График значений собственного вектора, соответствующего собственному числу
Изменение максимальной допустимой ошибки
Увеличим значение допустимой ошибки
Исходные данные:
yn=(1,1,1,1);
ed=0.0001;
a=(1.255 1.340 -1.316 0;
1.340 2.526 0 0.516;
-1.316 0 -1.743 4.628;
0 0.516 4.628 0.552);
Данные, полученные при выполнении программы:
y = 0.1491 m = 29 L1 = -5.5253 t = 0
0.0136
0.7880
-0.5972
График значений собственного числа заданной матрицы за время итерационного процесса/
График значений собственного вектора, соответствующего собственному числу
Уменьшим значение допустимой ошибки
Исходные данные:
yn=(1,1,1,1);
ed=0.000001;
a=(1.255 1.340 -1.316 0;
1.340 2.526 0 0.516;
-1.316 0 -1.743 4.628;
0 0.516 4.628 0.552);
Данные, полученные при выполнении программы:
y = 0.1498 m = 39 L1 = -5.5251 t = 0
0.0135
0.7862
-0.5994
График значений собственного числа заданной матрицы за время итерационного процесса
График значений собственного вектора, соответствующего собственному числу
Изменение начального приближения собственного вектора
Увеличимзначение начального приближения, т.е. отдалим от конечного решения.
Исходные данные:
yn=(2,3,3,2);
ed=0.00001;
a=(1.255 1.340 -1.316 0;
1.340 2.526 0 0.516;
-1.316 0 -1.743 4.628;
0 0.516 4.628 0.552);
Данные, полученные при выполнении программы:
y = -0.1501 m = 32 L1 = -5.5251 t = 1
-0.0135
-0.7853
0.6004
График значений собственного числа заданной матрицы за время итерационного процесса/
График значений собственного вектора, соответствующего собственному числу
Уменьшимзначение начального приближения, т.е. приблизимот конечного решения.
Исходные данные:
yn=(1,0,1,0);
ed=0.00001;
a=(1.255 1.340 -1.316 0;
1.340 2.526 0 0.516;
-1.316 0 -1.743 4.628;
0 0.516 4.628 0.552);
Данные, полученные при выполнении программы:
y = 0.1496 m = 25 L1 = -5.5251 t = 0
0.0135
0.7866
-0.5989
График значений собственного числа заданной матрицы за время итерационного процесса/
График значений собственного вектора, соответствующего собственному числу
Рассмотрим другие примеры:
Исходные данные:
yn=(1,1,1);
L1= 0.01
edop=0.00001;
a=(1 1 1;
2 3 4;
0 4 0);
Найдем собственные значения исходной матрицы, используя функцию eig. Получим
L1= 6.2085
0.4794
-2.6879
Полученный результат:
y = 0.2565 m =13 L1 =6.2085 t =0
0.8125
0.5235
График значений собственного числа заданной матрицы за время итерационного процесса
График значений собственного вектора, соответствующего собственному числу
Так при задании начального приближения, находящегося далеко от точного решения, итерационный процесс расходится. Если значение начального приближения выбрано близко к точному решению, то итерационный процесс сходится, и чем ближе вектор начального приближения к точному решению, тем за меньшее число итераций сходится итерационный процесс.
Выбор ошибки итерации также влияет на число итераций, а также на время счета. При уменьшении значения допустимой ошибки число итераций увеличивается, что необходимо для получения более точного значения собственного числа. И, наоборот, при увеличении значения допустимой ошибки число итераций уменьшается, а собственное число матрицы имеет более приближенное значение.
Заключение
При выполнении данной работы были рассмотрены теоретически и практически основные характеристики метода скалярных произведений для нахождения максимального собственного числа симметричной матрицы и соответствующего ему вектора собственных значений. Метод отличается простотой и не требует слишком сложных вычислений, что является существенным преимуществом.
Список литературы
1. Сарычева О.М. Численные методы в экономике: Конспект лекций /НГТУ – Новосибирск, 1995. – 65 с.
2. Уилкинс Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. – Наука, М. 1970.
3. Фаддеев Д.К., Фаддеев В.И. Вычислительные методы линейной алгебры М. Физматиздат, 1963.