Исследование движения центра масс межпланетных космических аппаратов

2. ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ ЧАСТЬ

2.1. ВВЕДЕНИЕ

В данной работе проводится исследование движения центра масс МКА под действием различных возмущающих ускорений (от нецентральности гравитационного поля Земли, сопротивления атмосферы, притяжения Солнца и Луны, из-за давления солнечных лучей) и создание математической модели движения ЦМ МКА, позволяющей учесть при интегрировании уравнений движения ЦМ МКА эволюцию орбиты МКА.

В работе разрабатывается алгоритм коррекции, ликвидирующий ошибки выведения МКА и рассчитывается масса топлива, необходимая для проведения коррекции, необходимой из-за эволюции параметров орбиты и из-за ошибок выведения МКА на рабочую орбиту.

Точность проведения коррекции зависит от точности направления корректирующего импульса, заданной в ТЗ. Было проведено моделирование системы коррекции в режиме стабилизации углового положения при работе корректирующей двигательной установки.

В работе приводятся программы, реализующие интегрирование уравнений движения ЦМ МКА, процесс осуществления коррекции и расчет топлива для коррекции.

2.2. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОРБИТЕ

Основными показателями эффективности космической группировки, являются:

- предельная производительность МКА в сутки на освещенной стороне Земли не менее 400-500 объектов.

- периодичность наблюдения районов съемки не реже одного раза в сутки.

Расположение плоскости орбиты по отношению к Солнцу выбрано таким образом, чтобы угол между линией узлов и следом терминатора на плоскости экватора Земли составлял D_т = 30°. При этом северный полувиток орбиты должен проходить над освещенной частью земной поверхности. Для определенности углу D_т приписывается знак «+» в том случае, если восходящий узел орбиты находится над освещенной частью Земли, и знак «-», если ВУ находится над неосвещенной частью. При выборе баллистического построения оперируют углом D, однозначно определяющимся прямым восхождением Солнца a₀ и долготой восходящего узла орбиты в абсолютном пространстве W: D = a₀ - W. Соотношение между углом D_т и углом D: DєD_т - 90°.

2.2.1. ХАРАКТЕРИСТИКА ОРБИТЫ

Для решения задач наблюдения Земли из космоса с хорошим разрешением при жестких ограничениях на массу КА и минимизации затрат на выведение целесообразно использовать низкие круговые орбиты. В этом классе орбит выделяют солнечно-синхронные орбиты со следующими свойствами:

- скорость прецессии плоскости орбиты в пространстве составляет примерно 1° в сутки, что практически обеспечивает постоянство ориентации ее относительно терминатора Земли в течении всего срока активного существования КА.

- близость наклонения плоскости орбиты к полярному, что обеспечивает глобальность накрытия полюсами обзора поверхности Земли.

- возможность наблюдения районов на поверхности Земли примерно в одно и то же местное время при незначительном изменении углов места Солнца в точке наблюдения.

Всем этим условиям удовлетворяют солнечно-синхронные орбиты с высотами от нескольких сот до полутора тысяч километров. На больших высотах наклонение солнечно-синхронной орбиты отличается от полярного, и глобальность накрытия поверхности Земли не обеспечивается. Для повышения эффективности наблюдения целесообразно выбрать орбиты с изомаршрутной трассой, у которых следы орбит ежесуточно проходят на одними и теми же районами Земли, что позволяет обеспечивать периодичность наблюдения одного и того же объекта, как минимум, раз в сутки с одного КА.

Предварительные расчеты показали, что целесообразно использовать орбиту с высотой Н = 574 км и наклонением плоскости орбиты к плоскости экватора Земли i = 97,6°.

Масса МКА может составить от 500 до 800 кг (что зависит от вида целевой аппаратуры, устанавливаемой на борту МКА). Для выведения МКА на орбиту используется РН СС-19 («Рокот») с разгонным блоком «Бриз».

2.2.3. СВЯЗЬ МКА С НАЗЕМНЫМИ ПУНКТАМИ УПРАВЛЕНИЯ

Управление МКА осуществляется с наземных пунктов управления на территории России. Их количество и место расположения выбирается таким образом, чтобы на любом витке можно было организовать сеанс связи с МКА хотя бы с одного пункта управления. Угол возывшения МКА над горизонтом наземного пункта управления должен быть не менее 7°, а дальность до МКА не должна превышать 2200 км.

В расчете зон связи были использованы следующие исходные данные:

- высота орбиты - 574 км.

- наклонение орбиты - 97,6°.

- географическая долгота восходящего узла первого витка - 4° в.д.

- минимальный угол возвышения МКА над местным горизонтом - 7°.

Из рассматривавшихся возможных наземных пунктов управления (Москва, Новосибирск, Хабаровск, Мурманск, Калининград, Диксон, Комсомольск-на-Амуре, Петропавловск-Камчатский), было выбрано три (Москва, Диксон, Петропавловск-Камчатский), обеспечивающие возможности связи с МКА на любом витке орбиты. При этом зоны связи с МКА составляют от 3 до 9 минут на витке.

Интергральные характеристики возможности связи с МКА:

- высота орбиты - 574 км.

- число витков, видимых из Москвы, вит/сутки - 6.

- суммарное время видимости из Москвы, мин - 41.

- суммарное время видимости с трех пунктов, мин - 153.

- максимальное время видимости одного витка, мин - 9,1.

2.2.4. ВЫВЕДЕНИЕ МКА НА РАБОЧУЮ ОРБИТУ

Выведение МКА на орбиту с наклонением i = 97,6° и высотой Н = 574 км осуществляется ракетой-носителем «Рокот» с разгонным блоком «Бриз». При выведении для каждой отделяющейся части РН (отработанная первая ступень, обтекатель, отработанная вторая ступень) существует свой район падения.

Возможные варианты старта:

1. Полигон Байконур.

Из-за отсутствия зон падения отделяющихся частей возможно сформировать опорную орбиту с наклонением i порядка 65°. Для формирования опорной орбиты с наклонением близким полярному при использовании трассы с азимутом стрельбы более 180° (направление стрельбы на юг) - первая ступень падает в районе Ашхабада, обтекатель сбрасывается на высоте Н порядка 100 км, вторая ступень падает за Аравийским полуостровом. С точки зрения энергетики, выведение осуществляется не по оптимальной схеме, в результате чего на круговую орбиту высотой Н порядка 700 км выводится МКА массой менее 600 кг.

2. Полигон Ледяная (Свободный).

Из-за отсутствия зон падения отделяющихся частей возможно сформировать опорную орбиту с наклонением i порядка 54° и 65°. При северном запуске РН первая ступень падает в районе заповедника в устье реки Олейма (приток Лены).

3. Космодром Плесецк.

Азимуты пуска с космодрома Плесецк обеспечивают наклонения орбит i от 72° до 93°. Формирование требуемового наклонения i = 97,6° осуществляется с помощью разгонного блока «Бриз».

В результате работы двух ступеней РН формируется баллистическая траектория с наклонением i = 93°. Высота в момент окончания работы двигателя второй ступени составляет Н = 190 км, наклонная дальность L = 300 км. Приблизительно через 1,2 секунды после прохождения команды на выключение двигателя второй ступени проходит команда на запуск ДУ РБ. После выключения двигателя второй ступени РН происходит отделение от ракеты связки РБ с КА. Время расцепки t = 318 секунд. Абсолютная скорость в момент отделения V = 5550 м/с. Отделяемая масса 6700 кг.

Двигательная установка РБ «Бриз» выполняет задачу доразгона КА при формировании опорной орбиты.

Характеристики двигателя РБ «Бриз»:

- тяга R, кг - 2000.

- удельный импульс R_уд, сек - 324.

- количество включений, р - 7.

- интервал между включениями, сек - 20.

- время функционирования, час - 7.

В результате работы двигателя РБ «Бриз» при первом включении происходит увеличение высоты баллистической траектории с Н = 190 км до Н = 270 км и к моменту окончания работы двигателя (t = 905,5 сек) в точке с аргументом широты u = 104,1° формируется опорная эллиптическая орбита с параметрами:

- высота в перигее Н_п, км - 190.

- высота в апогее Н_а, км - 574.

- большая полуось орбиты а, км - 6747.

- эксцентриситет e - 0,02548

- наклонение i, ° - 93,4.

- период обращения Т, час - 1,53.

- аргумент перигея w, ° - 128,38.

- долгота восходящего узла в гринвичской СК, фиксированной на момент старта W_г, ° - 48,37.

Величина импульса характеристической скорости, отрабатываемого при первом включении ДУ РБ dV₁ = 2,36 км/с, время работы порядка 600 сек.

Работа двигателя при первом включении происходит вне зоны видимости НПУ на территории России. Географические координаты, соответствующие этому моменту:

- широта j» 76°.

- долгота l» 238°.

В момент прохождения МКА перигея опорной эллиптической орбиты (t = 1231 сек) географические координаты составляют:

- широта j» 53°.

- долгота l» 227°.

На опорной эллиптической орбите МКА совершает пассивный полет до апогея. В районе апогея (t = 1,12 час) осуществляется второе включение ДУ РБ.

В результате приложения второго компланарного импульса характеристической скорости dV₂ = 0,12 км/с, при втором включении (время работы 20 сек) формируется круговая орбита с параметрами:

- высота Н, км - 574.

- наклонение i, ° - 93,4.

- период обращения Т, час - 1,6.

Работа двигателя при втором включении происходит вне зоны видимости НПУ на территории России. Географические координаты, соответствующие этому моменту:

- широта j» 1,5°.

- долгота l» 35,8°.

Для создания круговой, солнечно-синхронной орбиты необходимо изменить наклонение до i = 97,6°. С этой целью осуществляется третье включение ДУ РБ при первом прохождении восходящего узла орбиты (t = 1,3 час).

В результате приложения ортогонального импульса характеристической скорости dV₃ = 0,62 км/с, при третьем включении (время работы 90 сек) формируется солнечно-синхронная круговая орбита с параметрами:

- высота Н, км - 574.

- наклонение i, ° - 97,6.

- период обращения Т, час - 1,6.

- число оборотов в сутки N - 15.

Работа двигателя при третьем включении происходит вне зоны видимости НПУ на территории России. Географические координаты, соответствующие этому моменту:

- широта j» 0°.

- долгота l» 28,1°.

После выключения двигателя при третьем запуске происходит отделение МКА от РБ «Бриз».

Кинематические параметры в гринвичской СК, фиксированной на момент старта РН и оскулирующие элементы орбиты на момент отделения от РБ:

2.3. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ И ЦЕЛИ РАБОТЫ

2.3.1. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Номинальная орбита, необходимая для выполнения задач МКА, имеет следующие параметры:

- круговая, e = 0.

- солнечно-синхронная, скорость прецессии линии узлов орбиты W равна скорости обращения Солнца относительно Земли

W = 2p / 365,2422 = 0,0172 рад/сут = 0,98 °/сут.

- изомаршрутная, за сутки МКА совершает целое количество оборотов (n = 15).

Это обеспечивает прохождение МКА над одними и теми же районами в одно и тоже местное время.

- период Т = 5765 с.

- высота орбиты Н = 574 км.

- наклонение орбиты i = 97,6°.

- географическая долгота восходящего узла орбиты l_э = 28,1°.

Долгота восходящего узла в геоцентрической экваториальной (абсолютной) системе координат OXYZ определяется как разность

l_э - s₀,

где s₀ - часовой угол, отсчитывающийся от гринвичского меридиана до оси X, направленной в точку весеннего равноденствия.

Часовой угол зависит от даты старта и выбирается из астрономического ежегодника. В данной задаче для моделирования выбран часовой угол = 0.

Следовательно долгота восходящего узла орбиты W = l_э = 28,1°.

Исходя из ТЗ, начальная точка выведения имеет следующие координаты в гринвичской системе координат, фиксированной на момент старта РН:

Элементы орбиты:

Кинематические параметры в геоцентрической экваториальной системе координат:

Точность выведения:

- предельная ошибка по координате (3s) - 7 км.

- предельная ошибка по скорости (3s) - 5 м/с.

Пересчитав ошибку по координате на ошибку по периоду выведения орбиты получим предельную ошибку по периоду DT - 10 сек.

Корреляционная матрица ошибок выведения на момент выведения составляет:

Члены, стоящие на главной диагонали представляют собой квадраты предельных ошибок - (3s)².

K₁₁ = K₂₂ = K₃₃ = (3s)² = 7² = 49 км.

K₄₄ = K₅₅ = K₆₆ = (3s)² = 5² = 25 м/с.

Остальные члены представляют собой вторые смешанные моменты K_ij = K_ji = r_ijs_is_j или K_ij = K_ji = r_jj(3s_i)(3s_j), где r_jj - коэффициенты связи величин i и j. В данном случае вторые смешанные моменты K_ij = K_ji = 0.

Кинематические параметры в геоцентрической экваториальной системе координат на момент выведения с учетом ошибок выведения:

Параметры орбиты с учетом ошибок выведения:

2.3.2. ЦЕЛИ РАБОТЫ

1) Исследование и моделирование движения ЦМ МКА при воздействии на КА возмущающих ускорений.

2) Разработка алгоритмов проведения коррекции траектории МКА, моделирования процесса, и расчет потребного топлива для проведения коррекции траектории.

3) Исследование динамики системы коррекции траектории при стабилизации углового положения в процессе проведения коррекции траектории МКА.

2.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС МКА

2.4.1.УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ КА

Рассмотрим невозмущенное движение материальных точек М и m в некоторой инерциальной системе координат. Движение совершается под действием силы притяжения F_z. Сила F_z для материальной точки m определяется формулой:

,

где ¦ - постоянная притяжения,

r_o- единичный вектор, направленный от М к m,

,

где - радиус-вектор, проведенный из т.М до т.m.

r - относительное расстояние от М до m.

На точку М действует сила F_z, равная по величине и направленная в противоположную сторону.

На основе второго закона Ньютона уравнения движения материальных точек М и m имеют вид:

(1), (2)

или

(3), (4)

где ₁ - радиус-вектор, проведенный из начала инерциальной системы координат в точку m.

₂- радиус-вектор, проведенный из начала инерциальной системы координат в точку М.

.

Вычитая из уравнения (3) уравнение (4), получим уравнение движения материальной точки m относительно притягивающего центра М:

Так как m<<М, следовательно, можно пренебречь ускорением, которое КА с массой m сообщает притягивающему центру М. Тогда можно совместить начало инерциальной системы координат с притягивающим центром М. Следовательно, .

Таким образом, уравнение невозмущенного движения КА относительно притягивающего центра М в инерциальной системе координат, центр которой находится в М, имеет вид

,

где m = fM - гравитационная постоянная Земли.

Рассмотрим возмущенное движение КА в геоцентрической экваториальной (абсолютной) системе координат OXYZ:

- начало О - в центре масс Земли.

- ось X направлена в точку весеннего равноденствия g.

- ось Z совпадает с осью вращения Земли и направлена на Северный полюс Земли.

- ось Y дополняет систему до правой.

Движение КА в абсолютной системе координат OXYZ происходит под действием центральной силы притяжения Земли F_z, а также под действием возмущающих сил F_в. Уравнение движения имеет вид

или

где m = 597 кг - масса КА.

В проекциях на оси абсолютной системы координат OXYZ получим

или

или

или

где ax_в, ay_в, az_в- возмущающиеся ускорения.

Основные возмущающиеся ускорения вызываются следующими причинами:

- нецентральностью поля притяжения Земли.

- сопротивлением атмосферы Земли.

- влиянием Солнца.

- влиянием Луны.

- давлением солнечного света.

2.4.2. ВОЗМУЩАЮЩИЕ УСКОРЕНИЯ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА МКА

1) Возмущающееся ускорение, вызванное нецентральностью гравитационного поля Земли.

Рассмотрим потенциал поля притяжения Земли. При точном расчете параметров орбиты спутников, в качестве хорошего приближения к действительной поверхности Земли принимают геоид. Геоид - это гипотетическая уровенная поверхность, совпадающая с поверхностью спокойного океана и продолженная под материком.

Иногда в баллистике под геоидом понимают не поверхность, а тело, которое ограничено поверхностью мирового океана при некотором среднем уровне воды, свободной от возмущений. Во всех точках геоида потенциал притяжения имеет одно и то же значение.

Потенциал притяжения Земли можно представить в виде разложения по сферическим функциям.

где m_z = fM_z - гравитационная постоянная Земли.

r₀- средний экваториальный радиус Земли.

с_nm, d_nm - коэффициенты, определяемые из гравиметрических данных, а также по наблюдениям за движением ИСЗ.

L - долгота притягивающей точки.

j - широта притягивающей точки.

P_nm(sinj) - присоединенные функции Лежандра степени m и порядка n (при m № 0).

P_nm(sinj) - многочлен Лежандра порядка n (при m = 0).

Составляющие типа (m_z/r)(r₀/r)c_n0P_n0(sinj) - называют зональными гармониками n-порядка. Т.к. полином Лежандра n-го порядка имеет n действительных корней, функция P_n0(sinj) будет менять знак на n широтах, сфера делится на n+1 широтную зону, где эти составляющие имеют попеременно «+» или «-» значения. Поэтому их называют зональными гармониками.

Составляющие типа

(m_z/r)(r₀/r)c_nmcos(mL)P_nm(sinj) и (m_z/r)(r₀/r)d_nmsin(mL)P_nm(sinj)

- называют тессеральными гармониками n-порядка и степени m. Они обращаются в 0 на 2m меридианах, где cos(mL) = 0 и sin(mL)= 0 и на n-m параллелях, где P_nm(sinj)= 0 или d^mP_nm(sinj)/d(sinj)^m = 0, сфера делится на n+m+1 трапецию, где эти составляющие сохраняют знак.

Составляющие типа и

(m_z/r)(r₀/r)ccos(nL)P(sinj) и (m_z/r)(r₀/r)dsin(nL)P(sinj)

- называют секториальными гармониками n-порядка и степени m. Эти составляющие меняю знак только на меридианах, cos(nL) = 0 и sin(nL)= 0, на сфере выделяют 2n меридиональных секторов, где эти составляющие сохраняют знак.

Многочлен Лежандра степени n находится по следующей формуле:

P_n0(z) = 1/(2n!)ґ(d(z² - 1)/dz)

Присоединенная функция Лежандра порядка n и степени m находится по следующей формуле:

P_nm(z) = (1-z²)^m/2ґd^mP_n0(z)/dz^m

Возмущающая часть гравитационного потенциала Земли равна

U_в= U’ + DU’ = (U - m_z/r) + DU’

где DU’ - потенциал аномалий силы тяготения Земли.

U’ - часть потенциала Земли, которая учитывает несферичность Земли.

Следовательно,

Первая зональная гармоника в разложении потенциала учитывает полярное сжатие Земли.

Зональные гармоники нечетного порядка и тессеральные гармоники, где n-m нечетное число - учитывают ассиметрию Земли относительно плоскости экватора.

Секториальные и тессеральные гармоники - учитывают ассиметрию Земли относительно оси вращения.

Первая зональная гармоника имеет порядок 10^-3, а все остальные - порядок 10^-6 и выше. Поэтому будем учитывать в разложении потенциала притяжения только зональную гармонику (n=2, m=0) и секторальную гармонику (n=2, m=2). Также не будем учитывать потенциал аномалий силы тяготения Земли DU’.

Таким образом,

U_в = (m_z/r)(r₀/r)²(c₂₀P₂₀(sinj) + (c₂₂cos(2L) + d₂₂sin(2L))P₂₂(sinj)),

где c₂₀= - 0,00109808,

c₂₂= 0,00000574,

d₂₂ = - 0,00000158.

P₂₀(x) = 1/2²2!ґd²(x² - 1)²/dx².

Следовательно P₂₀(x) = (3x² - 1)/2.

Так как sinj = z/r, следовательно P₂₀(sinj) = (3(z/r)² - 1)/2.

P₂₂(x) = (1 - x²)^2/2ґd²P₂₀(x)/dx² = 1/2ґ(1 - x²)ґd²(3x² - 1)/dx²

Следовательно P₂₂(x) = 3(1 - x²).

Так как sinj = z/r, следовательно P₂₂(sinj) = 3(1 - (z/r)²).

Значит

Чтобы найти возмущающее ускорение от нецентральности поля тяготения Земли в проекциях на оси абсолютной системы координат OXYZ, надо взять производные от возмущающего потенциала U_в по координатам X, Y, Z, причемr = Ц(x² + y² + z²).

Следовательно,

2) Возмущающее ускорение, вызванное сопротивлением атмосферы.

При движении в атмосфере на КА действует сила аэродинамического ускорения R_x, направленная против вектора скорости КА относительно атмосферы:

где C_x= 2 - коэффициент аэродинамического сопротивления.

S_м = 2,5 м² - площадь миделевого сечения - проекция КА на плоскость, перпендикулярную направлению скорости полета.

V - скорость КА.

r - плотность атмосферы в рассматриваемой точке орбиты.

Так как исследуемая орбита - круговая с высотой Н = 574 км, будем считать, что плотность атмосферы одинакова во всех точках орбиты и равна плотности атмосферы на высоте 574 км. Из таблицы стандартной атмосферы находим плотность наиболее близкую к высоте Н = 574 км. Для высоты Н = 580 км r = 5,098ґ10^-13 кг/м³.

Сила аэродинамического ускорения создает возмущающее касательное ускорение a_a:

Найдем проекции аэродинамического ускорения на оси абсолютной системы координат a_xa, a_ya, a_za:

a_a направлено против скорости КА, следовательно единичный вектор направления имеет вид

e_a = (V_x/|V|, V_y|V|, V_z/|V|), |V| = Ц(V_x²+V_y²+V_z²)

Таким образом,

Значит

, ,

3) Возмущающее ускорение, вызванное давлением солнечного света.

Давление солнечного света учитывается как добавок к постоянной тяготения Солнца - Dm_c. Эта величина вычисляется следующим образом:

Dm_c = pS_мA²/m

где = 4,64ґ10^-6 Н/м² - давление солнечного света на расстоянии в одну астрономическую единицу А.

A = 1,496ґ10¹¹ м - 1 астрономическая единица.

m - масса КА.

S_м= 8 м² - площадь миделевого сечения - проекция КА на плоскость, перпендикулярную направления солнечных лучей.

Таким образом,

Dm_c= 1,39154ґ10¹⁵ м³/c².

4) Возмущающее ускорение, возникающее из-за влияния Солнца.

Уравнение движения КА в абсолютной системе координат OXYZ относительно Земли при воздействии Солнца:

где m_z - постоянная тяготения Земли.

m_c- постоянная тяготения Солнца.

r - радиус-вектор от Земли до КА.

r_c- радиус-вектор от Земли до Солнца.

Таким образом, возмущающее ускорение, возникающее из-за влияния Солнца:

.

Здесь первое слагаемое есть ускорение, которое получил бы КА, если он был непритягивающим, а Земля отсутствовала.

Второе слагаемое есть ускорение, которое сообщает Солнце Земле, как непритягивающему телу.

Следовательно, возмущающее ускорение, которое получает КА при движении относительно Земли - это разность двух слагаемых.

Так как r_c>>r, то в первом слагаемом можно пренебречь r. Следовательно

| r_c - r| = Ц((x_c-x)²+(y_c-y)²+(z_c-z)²)

где x_c, y_c, z_c- проекции радиуса-вектора Солнца на оси абсолютной системы координат.

Моделирование движения Солнца проводилось следующим образом: за некоторый промежуток времени t Солнце относительно Земли сместится на угол J = J_н+ w_ct,

где J_н= W + (90 - D) - начальное положение Солнца в эклиптической системе координат.

W = 28,1° - долгота восходящего узла первого витка КА.

D = 30° - угол между восходящим узлом орбиты КА и терминатором.

w_c - угловая скорость Солнца относительно Земли.

w_c = 2/T = 2p/365,2422ґ24ґ3600 = 1,991ґ10^-7 рад/c = 1,14ґ10^-5 °/c

Таким образом, в эклиптической системе координат проекции составляют:

x_c^e = r_ccosJ

y_c^e = r_csinJ

z_c^e = 0

r_c = 1,496ґ10¹¹ м (1 астрономическая единица) - расстояние от Земли до Солнца

Плоскость эклиптики наклонена к плоскости экватора на угол e= 23,45°, проекцииr_c на оси абсолютной системы координат можно найти как

x_c = x_c^e = r_ccosJ

y_c^e = y_c^ecose = r_ccosJcose

z_c^e = r_csinJsine

Таким образом, проекции возмущающего ускорения на оси абсолютной системы координат:

a_xc = - m_cx/(Ц((x_c-x)²+(y_c-y)²+(z_c-z)²))³

a_yc = - m_cy/(Ц((x_c-x)²+(y_c-y)²+(z_c-z)²))³

a_zc = - m_cz/(Ц((x_c-x)²+(y_c-y)²+(z_c-z)²))³

С учетом солнечного давления

a_xc = - (m_c-Dm_c)x/(Ц((x_c-x)²+(y_c-y)²+(z_c-z)²))³

a_yc = - (m_c-Dm_c)y/(Ц((x_c-x)²+(y_c-y)²+(z_c-z)²))³

a_zc = - (m_c-Dm_c)z/(Ц((x_c-x)²+(y_c-y)²+(z_c-z)²))³

5) Возмущающее ускорение, возникающее из-за влияния Луны.

Уравнение движения КА в абсолютной системе координат OXYZ относительно Земли при воздействии Луны:

где m_л = 4,902ґ10⁶ м³/c²- постоянная тяготения Луны.

r_л - радиус-вектор от Земли до Луны.

Таким образом, возмущающее ускорение, возникающее из-за влияния Луны:

Так как r_л>>r, то в первом слагаемом можно пренебречь r. Следовательно

|r_л- r| = Ц((x_л-x)²+(y_л-y)²+(z_л-z)²)

где x_л, y_л, z_л- проекции радиуса-вектора Луны на оси абсолютной системы координат.

Движение Луны учитывается следующим образом: положение Луны в каждый момент времени рассчитывается в соответствии с данными астрономического ежегодника. Все данные заносятся в массив, и далее этот массив считается программой моделирования движения КА. В первом приближении принимается:

- орбита Луны - круговая.

- угол наклона плоскости орбиты Луны к плоскости эклиптики i = 5,15°.

- период обращения линии пересечения плоскостей лунной орбиты и эклиптики (по ходу часовой стрелки, если смотреть с северного полюса) = 18,6 года.

Угол между плоскостями экватора Земли и орбиты Луны можно найти по формуле

cos(h_л) = cos(e)cos(i) - sin(e)sin(i)cos(W_л)

где W_л - долгота восходящего узла лунной орбиты, отсчитывается от направления на точку весеннего равноденствия.

e- угол между плоскостями эклиптики и экватора Земли.

Величина h_л колеблется с периодом 18,6 лет между минимумом при h_л = e - i = 18°18’ и максимумом приh_л = e + i = 28°36’ при W= 0.

Долгота восходящего узла лунной орбиты W_л изменяется с течением времени t на величину W_л= tґ360/18,6ґ365,2422ґ24ґ3600.

Положение Луны на орбите во время t определяется углом

J _л= tґ360/27,32ґ24ґ3600.

По формулам перехода найдем проекции вектора положения Луны на оси абсолютной системы координат:

x_л = r_л(cosJ_лcosW_л- cosh_лsinJ_лsinW_л)

y_л = r_л(cosJ_лsinW_л+ cosh_лsinJ_лcosW_л)

z_л = r_лsinh_лsinJ_л

r_л= 3,844ґ10⁸ м - среднее расстояние от Земли до Луны

Таким образом, проекции возмущающего ускорения на оси абсолютной системы координат:

a_xл= - m_лx/(Ц((x_л!-x)²+(y_л-y)²+(z_л-z)²))³

a_yл= - m_лy/(Ц((x_л!-x)²+(y_л-y)²+(z_л-z)²))³

a_zл= - m_лz/(Ц((x_л!-x)²+(y_л-y)²+(z_л-z)²))³

Уравнения возмущенного движения при действ