В.Б. Кирьянов. Задача равновесий

Глава первая. ЗАДАЧИ РАВНОВЕСНОГО УПРАВЛЕНИЯ

. . . по самой своей природе математические методы

не могут прилагаться непосредственно к действительности,

а только к математическим моделям того или иного круга явлений.

Л.В.Канторович и А.Б.Горстко ( , c.6).

СОДЕРЖАНИЕ ПЕРВОЙ ГЛАВЫ

2

1.1. Задача затрат

1. Классификация задач.

2. Векторные обозначения.

3. Табличное представление.

4. Количественная часть задачи затрат.

7

1.2. Ценовая часть задачи затрат

1. Оценивание изделий.

2. Ценовые условия равновесия.

3. Равновесные цены изделий.

4. Правила двойственного соответствия.

5. Транспонирование.

11

1.3. Задача выпуска

1. Табличное представление.

2. Количественная часть задачи выпуска.

3. Ценовая часть задачи выпуска.

4. Каноническая пара задач.

16

1.4. Задача равновесия

Физическое содержание задачи равновесия.

1.5. История и литература

1.1. Задача затрат

1.Классификация задач. Начнем изучение задачи равновесия с простых экономических примеров.

Рассматривая массовое производство каких-нибудь обычных изделий, например - строительство жилых домов (производство автомобилей, компьютеров и т.п.),- мы увидим: всякое такое дело оказывается состоящим из двух взаимосвязанных производств: производства строительных материалов (автомобильных агрегатов, микросхем и проч.) и собственно строительства (сборочного производства). При этом, производство строительных материалов представляет собою процесс разложения сложного природного сырья в ряд простых изделий, например: круглого леса в доски стандартных размеров,- и наоборот: строительное производство есть процесс сборки из простых строительных материалов различных сложных построек. Для нас здесь важно то, что в развитом народном хозяйстве оба эти производства - и произвольный лесопильный завод, и какая-нибудь строительная артель - действуют на различных рынках: в нашем случае - на рынке пиломатериалов и на рынке строительных услуг,- и являются, вообще говоря, независимыми друг от друга. В терминах народохозяйственной модели "затраты-выпуск" Леонтьева (см.1.5.1) задача разложения сырья является задачей затрат, а задача сборки изделий - задачей выпуска.

Кроме того: всякий управляющий промышленным производством, независимо от того, действует ли он в перерабатывающей или сборочной областях промышленности, участвует во внешней рыночной деятельности двояким образом: и как потребитель, покупающий сырье для своего производства, и как производитель, продающий произведенные им изделия. Покупка сырья составляет его расход, а продажа изделий - доход. По этой причине, задача разумного управления промышленным предприятием оказывается для него состоящей из двух задач: задачи минимизации расходов и, одновременно, - задачи максимизации доходов того же самого промышленного производства. Такая пара задач называется взаимно двойственной.

В итоге, множество задач научного производственного управления образуется из задач четырех видов: из задачи разложения сырья и задачи сборки изделий, каждая из которых, в свою очередь, распадается в пару прямой и ей двойственной подзадач:

	прямая подзадача;
Задача затрат:
	двойственная подзадача.
	прямая и
Задача выпуска:
	двойственная подзадачи.

Их точной модельной постановке и посвящена первая глава наших лекций.

2.Векторные обозначения. И промышленное сырье, и изделия из него являются товарами, и как всякие товары описываются парой взаимосвязанных величин: количествомq (от quantity) и ценой (от price). Поэтому описание производства как преобразования сырья в изделия имеет дело с двумя их связанными парами: количествами и ценами сырья, и количествами и ценами изделий. Для удобства различения этих величин те из них, которые относятся к сырьевым или первичным товарам, мы будем снабжать первым значком “1”, а относящиеся к производимым или вторичным товарам - значком “2”, например: q ¹и ₁, q ²и ₂ .

При использовании m видов сырья для производства видов изделий: m, n = 1, 2, ј, как их количества, так и цены становятся многокомпонентными или векторными величинами. В матричном исчислении их представляют одностолбцовыми или однострочными матрицами, различение которых связано с несимметричностью закона матричного умножения по правилу “строка на столбец”. Нам будет удобно первые значки количественным векторам приписывать сверху и их составляющие q ¹₁ , ј, q ¹_m и q ²₁ , ј, q ² в матричном представлении записывать в виде одностолбцовыхm ґ 1 и ґ 1 матриц соответственно:

q 1 =

q 11 ј q 1m

; q 2 =

q 21 ј q 2

а те же первые значки ценовым векторам мы будем приписывать снизу: ₁ и ₂ , и их составляющие ₁ ¹ , ј, ₁ ^m и ₂ ¹ , ј, ₂ ⁿ записывать в виде однострочных1 ґ т и 1 ґматриц:

р₁ = ( ₁ ¹ј₁ ^m ) ; р₂ = ( ₂ ¹ј₂).

Имеющие одни и те же пространственные размерности количественный и ценовый векторы одного и того же наборов товаров мы будем называть взаимно-двойственными векторами. Они обладают тем свойством, что их матричное произведение по правилу “строка на столбец”, например:

1 q 1 = ( 1 1ј1 m)

q 11 ј q 1m

=1 1 q 11 + ј + p1 m q 1mєб1 , q 1с,

дает одноклеточную 1 ґ 1 матрицу или “скаляр” (число) б₁ , q ¹с - сумму покомпонентных произведений перемножаемых векторов, называемую их скалярным произведением или, коротко, сверткой этих векторов.

На протяжении всех наших лекций сторочные латинские буквы с двумя значками будут обозначать одномерные величины или числа, те же буквы с одним значком - соответствующие векторы, а буквы без значков - матрицы или операторы. Причем всегда нижний значок матричных составляющих будет нумеровать строки, а верхний - столбцы.

3.Табличное представление. Задача затрат представляет собою задачу переработки m взаимозаменяемых видов “сложного” сырья в видов “простых” изделий. В линейном случае ее технология задается ґ m таблицей неотрицательных чисел a₁ ¹, ј, a ^m :

a_l ^k(количество l-изделий / на единицу k-сырья) і 0 ;

l = 1, ј , n; k = 1, ј , m; m, n = 1, 2, ј ,

составляющих матрицу выпускаa. В целом, вместе с двумя парами векторов q ¹и ₁ , и q ² и ₂ всех своих товаров, задача затрат описывается mґn+2(m+n) величинами и естественно представляется в следующем табличном виде:

	q 11јq 1m
2 1 ј 2	a1 1јa1 m јјј a1јa m	q 21 ј q 2
	11ј1 m

Всякое производство, будь то разложение сырья или сборка изделий, является преобразованием сырья в изделия как в отношении их количеств, так и цен:

q 11

a ®

q 22 ,

- и поэтому из 2m+2n его количественных и ценовых величин одна их половина предопределяет другую. Так, в задаче затрат нам задается рыночный спрос на выпускаемые изделия (план их производства) в виде неотрицательного вектора спроса изделийq₂ с составляющими:

q ²_l (количество. l-изделий)і 0;l = 1, ј , n,

а дополнительный ему вектор q ¹спроса на потребляемое сырье подлежит определению в условиях заданных цен - неотрицательного вектора закупочных цен сырья₁ с m составляющими

₁ ^k (рубли / за единицу k-сырья) і 0;k = 1, ј , m.

Заданные постоянные задачи называются, также, ее параметрами, а искомые неизвестные - переменными. Для отличения параметров задачи от ее переменных мы будем снабжать параметры дополнительным значком - ноликом “^°“ сверху.

4.Количественная часть задачи затрат. Предложение изделий. В прямой части задачи затрат относительно заданных цен ₁ на потребляемое сырье ищется наименее расходное значение его вектора спроса q ¹ . По этой причине прямая часть задачи производственного управления называется, также, ее количественной частью.

Выпуская a_l ^k единиц l-изделий из каждой затрачиваемой единицы k-сырья, из q ¹₁ , ј , q ¹_m единиц сырья всех m видов изготовляют q ²₁ , ј , q ² :

q ²₁ = a ₁ ¹ q ¹₁ + ј + a ₁ ^m q ¹_m

ј

q ² = a ¹ q ¹₁ + ј + a ^m q ¹_m ,

единиц изделий каждого вида. Количества предлагаемых изделий каждого вида представляются линейными функциями q ²_l = q ²_l (q ¹):

q ²_l = q ²_l (q ¹) = бa _l , q ¹с ; l = 1, ј , n ,

количеств затрачиваемого сырья в виде скалярных произведений бa _l , q ¹сm-мерного столбцового вектора q ¹ затрат сырья с m-мерными строчными векторами a₁ , ј , a матрицы затрат a:

a₁ = ( a₁ ¹ј a ₁ ^m) ,

ј

a = ( a ¹ј a ^m)

- векторами выпуска изделий каждого вида из всего ассортимента потребляемого сырья.

В обычных матричных обозначениях набор линейных функций q ²_l = q ²_l (q ¹) образует n-мерный столбцовый вектор предложения изделийq ². Матричное представление полученных балансовых соотношений:

q 2 =	a1 1јa1 m јјј a1јa m		q 11 ј q 1m	= a q1

описывает осуществляемый mґ матрицей выпуска aлинейное преобразованиеm количеств потребляемого сырья всех видов в количества производимых из него изделий.

5.Множество допустимых планов. Допустимыми являются такие закупки сырья q ¹, при которых предложение производимых из него изделий q ² удовлетворяет заданному на них спросу q ²:

q 2 = a q 1і q 2, или: предложение удовлетворяет спрос.

Полученные ограничения:

a ₁ ¹ q ¹₁ + ј + a ₁ ^m q ¹_m і q ²₁

ј

a ¹ q ¹₁ + ј + a ^m q ¹_m і q ² ,

являются прямыми или количественными необходимыми условиями равновесия. Их решения называются множеством допустимых планов задачи.

Как мы увидим позднее (см. ), множество решений полученной системы неравенств, вообще говоря, неоднозначно, допуская любое неотрицательное перепроизводство изделийDq ² :

Dq ²єq ²- q ²і 0 .

6.Равновесное потребление сырья. Издержки данного производства, то есть стоимость приобретаемых по заданным закупочным ценам ₁¹ , ј , p₁^m потребных количеств q ¹₁ , ј , q ¹_mвсех видов сырья, образует их линейную функцию L(q ¹):

L(q ¹) = p₁ ¹ q ¹₁ + ј + p₁^m q ¹_m = б₁ , q ¹с ,

называемую функцией стоимости, а также целевой функцией рассматриваемой задачи. Количественная часть задачи равновесного управления состоит в отыскании на области допустимых планов закупок сырья план закупок q ¹ наименьшей стоимости L(q ¹):

q 1 : б1 , q 1с = min б1 , q 1с q1|a q 1і q 2 .

Минимизирующее функцию стоимости задачи допустимое значение искомого вектора q ¹называется его равновесным значением или, еще, оптимальным планом задачи, а полученная задача - задачей равновесного (или, что то же самое - оптимального) производственного управления. В общем случае требование минимизации стоимости обеспечивает единственность ее решения.

1.2. Ценовая часть задачи затрат

1.Оценивание изделий. В условиях того же самого производства:

	q 11јq 1m
2 1 ј 2	a1 1јa1 m јјј a1јa m	q 21 ј q 2
	11ј1 m

- одновременно с веществом сырья на выпускаемые из него изделия переносится и его стоимость и возникает двойственная задача оценки сырья ценами производимых из него изделий, называемая, также, ценовой частью задачи затрат.

Действительно, изготовление из единицы сырья вида k:k=1, ј , m, a_l ^k штук изделий каждого вида l: l=1, ј , n, по ценам ₂ ^l за штуку сообщает сырью стоимости ₁ ^k:

₁ ¹ = p₂ ¹ a₁ ¹ + ј + p₂ a ¹ = б₂ , b ¹с

. . .

₁ ^m = p₂ ¹ a₁ ^m + ј + p₂ a ^m = б₂ , b ^mс.

в виде линейных функций

₁ ^k = ₁ ^k (p₂) = б₂ , b ^kс

цен производимых из них изделий, в совокупности образующих m-мерный строчный вектор ценности сырья₁. Коэффициентными векторами этих линейных функций служат столбцы ₁ , ј , b_mтой же самой матрицы затрат a:

1 =

a1 1 ј a 1

; . . . , b m =

a1 m ј a m

- векторы выпуска ассортимента изделий из сырья каждого вида.

Полученные ценовые балансовые соотношения:

1 = ( 1 1ј1 1)	a1 1јa1 m јјј a1јa m	= p 2 a,

являются линейным преобразованием ² a= p ¹ цен выпускаемых изделий в производственные ценности потребляемого сырья, двойственным осуществляемому той же матрицей выпуска изделий a количественному линейному преобразованию q ² = a q ¹, сырья в изделия.

2.Ценовые условия равновесия. В условиях свободного доступа как производителей, так и потребителей товаров к сырью и технологиям, продажа всякого готового изделия его производителем становится возможной лишь при условии того, что приобретение готового изделия потребителем оказывается для него не дороже его самостоятельного изготовления. По этой причине допустимыми являются такие продажные цены ₂ выпускаемых изделий, при которых производственные ценности ₁= p₁(p₂) сырья не превышают его закупочных цен ₁ :

1 = p2 a Ј1 .

Полученные условия продаж являются двойственными или ценовыми необходимыми условиями равновесия. Они выражают тот наш потребительский опыт, в соответствии с которым товары массового производства при прочих равных условиях имеют свойство приобретаться тем охотнее, чем ниже их цена.

Множество решений ценовых ограниченийназывается множеством допустимых цен.

3.Равновесные цены изделий. Доход производства, даваемый стоимостью продаваемых по ценам ₂ ¹, ј , p₂ ⁿ требуемых количеств q ²₁ ,ј , q ² выпускаемых изделий образует линейную функцию L^dual(p₂) этих цен:

L^dual(p₂) = p₂ ¹ q ²₁ + ј + p₂ q ² = б₂ , q ²с,

называемую функцией стоимости ценовой части задачи. Как и всякий доход он стремится быть максимизированным своим получателем, и по этой причине двойственная часть задачи управления состоит в отыскании на множестве допустимых цен изделий их наиболее доходных значений ₂ :

p2 : бp2 , q 2с = max бp2 , q 2с p2Ѕ p2 a Ј p1

.

Максимизирующие функцию стоимости задачи допустимые цены изделий называются их равновесными ценами, а сама задача - двойственной или ценовой частью задачи равновесного управления.

4.Правила двойственного соответствия. Итак, для одной и той же задачи затрат:

	q 1
2	a	q 2	,
	1

мы получили ее прямую и двойственную части:

q ¹ : min б₁ , q ¹с при a q ¹і q ²

и

₂ : max б₂ , q ²с при ₂ a Ј₁ .

Обе они, несмотря на различные "сопряженные" наборы искомых неизвестных: в одной q ¹, а в другой ₂ ,- объединены одними и теми же наборами параметров a, q ² и ₁и обладают определенной двойственной симметрией, позволяющей по одной части задачи востановить ей двойственную часть и наоборот.

Действительно, сравнивая между собой обе подзадачи, мы можем установить правила соответствия между ними. Эти правила состоят в замене

1) знака ограничений с і на Ј ,

2) действия оптимизации функции стоимости c min на max ,

3) параметров ограничений на параметры функции стоимости c q ²на₁ ,

4) количественных переменных на им сопряженные ценовые: c q ¹на₂ , и наоборот,

и позволяют по известной одной части задачи тут же написать ей двойственную.

Заметим , также, что "сопряженные" количественные q ¹и ценовые₂ переменные обеих подзадач относительно количеств товаров имеют взаимно обратные количественные размерности штук и обратных штук товара:

( q ¹_k ) = штуки и ( p₂ ^l) = рубли / штуки,

и их балансовые соотношения взаимно обратны в том смысле, что в прямых - количества сырья преобразуются в количества изделия, а в двойственных - наоборот: цены изделий преобразуются в цены сырья:

q ² = a q ¹и ₂ a = p₁ .

5.Транспонирование. Соблюдаемое нами во взаимно двойственных подзадачах различение строчных и столбцовых векторов устраняется действием транспонирования. Транспонированием матрицы называется действие замены ее строк столбцами или, что то же самое,- столбцов строками, и обычно обозначается значком “t” сверху:

а t =	a1 1јa1 m јјј a1јa m	t є	a1 1јa 1 јјј a1 mјa m	.

В частности:

(q 1) t =	q 11 ј q 1m	t = ( q 11ј q 1m) и (p1) t= (1 1ј1 m) t =	1 1 ј 1 m	.

Транспонирование произведения матриц доопределяется произведением транспонированных матриц, взятых в обратном порядке:

(a c )^t = (c )^t (a )^t

в частности:

( p₂ a ) ^t = a ^t (p₂) ^tи (a q ¹) ^t = (q ¹) ^t a ^t ,

а также

(б₁ , q ¹с)^t = б(q ¹) ^t, (p₁) ^tс.

Теперь, двойственная часть задачи равновесного управления, полученная нами в строчных векторах ₁и ₂с умножением на матрицу a справа:

₂ : max б₂ , q ²с при ₂ a Ј₁ ,

в транспонированном виде записывается подобно своей прямой части

q ¹ : min б₁ , q ¹с при a q ¹і q ²

в столбцовых векторах (p₁)^t и (p₂)^t с умножением на транспонированную матрицу a ^t слева:

(p₂ )^t : max б(q ²)^t, (p₂)^tс при a ^t (p₂) ^tЈ (p₁ )^t.

1.3. Задача выпуска

1.Табличное представление. Задача выпуска является "обратной" по отношению к предыдущей задаче затрат задачей равновесного производственного управления. Процессом производства в ней является процесс сборки ряда взаимозаменяемых сложных изделий из нескольких видов простого сырья. Примерами задачи выпуска являются задачи оптимального планирования сборки изделий из нескольких видов комплектующих узлов, в частности:

- строительства из нескольких видов строительных материалов

- времени работы нескольких видов промышленного оборудования,

- времени работы рабочих нескольких специальностей,

и им подобные задачи.

При использовании m видов сырья для производства видов изделий во всех задачах выпуска процесс производства описывается матрицей затратc, составляющие которой

c_i ^j (количество i-сырья / на единицу j-изделия) і 0 ,

имеют обратные количественные размерности по отношению к количественным размерностям матрицы выпуска a : ( a_j ⁱ) = количество j-изделий / на единицу i-сырья.

В условиях заданного вектора предложения сырья q ¹ и заданных цен ₂ на производимые изделия в количественной (прямой) части обратной задачи ищется наиболее доходное предложение (план производства) изделий q ², а в ценовой (двойственной) части - наименее расходные цены ₁ потребляемого сырья:

	q 21јq 2
1 1 ј 1 m	c1 1јc1 јјј cm1јcm	q 11 ј q 1m
	21ј2

Формальным отличием приведенной таблицы от таблицы предыдущей задачи является, как мы видим, замена сырьевых переменных "издельными" и наоборот.

2.Количественная часть задачи выпуска. В условиях затрат c_i ^jединиц i-сырья на каждую единицу производимого j-изделия, на выпуск q ²₁ , ј , q ² единиц изделий всех видов потребуется q ¹₁ , ј , q ¹_m :

q ¹₁ = c₁ ¹ q ²₁ + ј + c₁ q ²єбc₁ , q ²с

. . .

q ¹_m = c_m ¹ q ²₁ + ј + c_m q ²єбc_m , q ²с ,

единиц сырья каждого вида. n-мерные строки матрицы затрат, служащие коэффициентами балансовых соотношений:

c₁ = ( c₁ ¹ј c₁ );

. . .

c_m = ( c_m ¹ј c_m ),

есть векторы затрат сырья каждого вида на весь ассортимент производимых из него изделий. Матричное представление полученных балансовых соотношений:

q ¹ = q ¹(q ²) = c q ² ,

описывает линейный процесс пересчета предложения выпускаемых изделий в спрос на потребляемое для их производства сырье.

Допустимым является такое предложение изделий, при котором спрос на потребляемое сырье не превосходит его предложения:

q ¹ = c q ²Ј q ¹.

Доход такого производства, выражаемый стоимостью M(q ²) продаваемых по ценам ₂ предлагаемых количеств изделий:

M(q ²) = p₂ ¹ q ²₁ + ј + p₂ q ²єб₂ , q ²с,

называется функцией стоимости количественной части обратной задачи. Сама же задача состоит в том, чтобы на множестве ее допустимых планов производства найти план наибольшей стоимости:

q 2 : б2 , q 2с= max б2 , q 2с q 2Ѕc q 2Ј q 1

.

В сущности, все задачи равновесного управления являются определениями равновесных значений своих искомых неизвестных.

3.Ценовая часть задачи выпуска. Одновременно, затраты на каждую единицу j-изделия c_i ^jединиц сырья всех m видов по ценам ₁ ⁱ: i=1, ј , m, сообщают выпускаемым изделиям цены ₂ ¹ , ј , p₂ ⁿ :

₂ ¹ = p₁ ¹ c₁ ¹ + ј + p₁ ^m c_m ¹єб₁ , d ¹с

. . .

₂ = p₁ ¹ c₁ + ј + p₁ ^m c_mєб₁ , dс .

m-мерные столбцовые векторы матрицы затрат:

d 1є

c1 1 ј cm 1

, ј , dє

c1 ј cm

,

есть векторы затрат сырья на выпуск изделия каждого вида. Ценовые балансовые соотношения

₂ = p₂(p₁) = p₁ c

описывают осуществляемое матрицей затрат двойственное линейное преобразование цен потребляемого сырья в цены производимых из них изделий.

При заданных продажных ценах изделий вложенное в них сырье приобретает ценность, не меньшую ценности выпускаемых из него изделий:

₂ = p₁ c і₂ .

Как и в задаче затрат полученные ценовые условия равновесия выражают необходимое условие продаж: покупка готовых изделий не должна быть дороже их самостоятельного изготовления.

Стоимость расходуемого сырья:

M^dual(p₁) = p₁ ¹ q ¹₁ + ј + p₁ ^m q ¹_mєб₁ , q ¹с,

составляет расход производства. Ищутся допустимые цены сырья, сообщающие его стоимости наименьшее значение:

1 : б1 , q 1сє min б1 , q 1с 1Ѕ1 c і2 .

4.Каноническая пара задач. Итак, мы описали все четыре линейные статические задачи равновесного производственного управления:

		q 1
- пару задач затрат:	2	a	q 2	:
		1

с прямой задачей оптимального планирования закупок сырья:

q ¹ : min б₁ , q ¹с при a q ¹і q ² ,

и двойственной ей задачей оптимального планирования цен выпускаемых изделий:

₂ : max б₂ , q ²с при ₂ a Ј₁

		q 2
- и пару задач выпуска:	1	с	q 1	:
		2

с прямой задачей оптимального планирования выпуска изделий:

q ² : max б₂ , q ²с при c q ²Ј q ¹ ,

и ей двойственной задачей оптимального оценивания сырья:

₁ : min б₁ , q ¹с при p₁ c і₂ .

Как мы видим, обе задачи обладают "перекрестной" симметрией и формально, то есть безотносительно к экономическому содержанию, прямая и обратная пары задач тождественны друг другу с точностью до - 1)- переобозначения своих величин и -2)- перестановки между собой их взаимно-двойственных частей:

min б₁ , q ¹с при a q ¹і q ² max б₂ , q ²с при c q ²Ј q ¹,

max б₂ , q ²с при p₂ a Ј₁ min б₁ , q ¹с при p₁ c і₂ .

Точная взаимозаменяемость задач достигается:

- заменой технологических матриц:

c « a ,

- и переобозначением количественных и ценовых векторов:

(p_{1; 2} )^t« q ^{1; 2}