Содержание





Задача 1        2

Задача 2        6

Список литературы        8



Задача 1

На имеющихся у фермера 400 акров земли он планирует посеять кукурузу и сою. Сев и уборка кукурузы требует на каждый акр 200 долларов затрат, а сои – 100 долларов. На покрытие расходов, связанных с севом и уборкой фермер получил ссуду 60000 долларов. Каждый акр, засеянный соей приносит 60 бушелей, а кукурузы – 30 бушелей. Фермер заключил договор на продажу, по которому каждый бушель кукурузы принесет ему 3 доллара, а каждый бушель сои 6 долларов. Однако, согласно этому договору фермер обязан хранить убранное зерно в течение нескольких месяцев на складе, максимальная вместимость которого равна 24000 бушелей.

Фермеру хотелось бы знать, сколько акров нужно засеять каждой из этих культур с тем, чтобы получить максимальную прибыль.

Решение:

Согласно условия рассчитаем доход, который приносит каждый акр исходя из урожайности и прибыли на бушель зерна:

Кукуруза – 30*3=90 долларов

Соя – 60*6=360 долларов

Для формализации задачи обозначим через x1, x2 искомую производственную программу — объемы сева кукурузы, сои (в акрах). Тогда доход от реализации будет равен

Z = 90x1 + 360x2                           (1)

Производственная программа x1, x2 может быть реализована только при выполнении следующих условий (ограничений):

Ограничение объема затрат:

200x1 + 100x2?60000                (2)

Ограничение объема хранения выращенного зерна:

30x1 + 60x2?24000                (3)

Переменные решения x1, x2 неотрицательны:

x1? 0, x2 ? 0.                        (4)                                

Получаем задачу линейного программирования: необходимо максимизировать целевую функцию (1) — доход от реализации продукции — при условии, что на переменные x1, x2 наложены ограничения (2), (3) и (4).

Для решения задачи в Excel создаем на рабочем листе табличный вариант модели оптимизации (1) - (4) (рис. 1).


Рис. 1. Ввод данных в лист Excel

Вводим необходимую информацию в надстройку «Поиск решения» (рис. 2).


Рис. 2. Ввод данных в надстройку «Поиск решения»

Получаем на рабочем листе Excel оптимальное решение (рис. 3).


Рис. 3. Оптимальное решение

Найденная «Поиском решения» оптимальная производственная программа (ячейки В8, С8, — рис. 3):

x1=0 акров

x2=400 акров

То есть, чтобы получить максимальную прибыль нужно всю площадь засеять соей.

Эту же задачу можно решить графическим способом (рис. 4).

Для этого нанесем в виде графиков ограничения (2), (3) и (4).

Серым цветом на графике выделена область допустимых значений. Поскольку коэффициенты целевой функции положительны, то в этом квадранте по мере удаления от центра значение целевой функции будет возрастать. Примем Z=0. тогда коэффициент при х1 будет равен -4. Ясно, что в данной системе координат он не изменится и определит угол наклона прямой к оси х1. Прямую с таким наклоном можно построить в точке, где  х2=0. Это будет максимум целевой функции, что и подтверждается расчетами, сделанными аналитическим способом.


Рис. 4. Решение задачи оптимизации прибыли графическим способом