Содержание
Задача 1 2
Задача 2 6
Список литературы 8
Задача 1
На имеющихся у фермера 400 акров земли он планирует посеять кукурузу и сою. Сев и уборка кукурузы требует на каждый акр 200 долларов затрат, а сои – 100 долларов. На покрытие расходов, связанных с севом и уборкой фермер получил ссуду 60000 долларов. Каждый акр, засеянный соей приносит 60 бушелей, а кукурузы – 30 бушелей. Фермер заключил договор на продажу, по которому каждый бушель кукурузы принесет ему 3 доллара, а каждый бушель сои 6 долларов. Однако, согласно этому договору фермер обязан хранить убранное зерно в течение нескольких месяцев на складе, максимальная вместимость которого равна 24000 бушелей.
Фермеру хотелось бы знать, сколько акров нужно засеять каждой из этих культур с тем, чтобы получить максимальную прибыль.
Решение:
Согласно условия рассчитаем доход, который приносит каждый акр исходя из урожайности и прибыли на бушель зерна:
Кукуруза – 30*3=90 долларов
Соя – 60*6=360 долларов
Для формализации задачи обозначим через x1, x2 искомую производственную программу — объемы сева кукурузы, сои (в акрах). Тогда доход от реализации будет равен
Z = 90x1 + 360x2 (1)
Производственная программа x1, x2 может быть реализована только при выполнении следующих условий (ограничений):
Ограничение объема затрат:
200x1 + 100x2?60000 (2)
Ограничение объема хранения выращенного зерна:
30x1 + 60x2?24000 (3)
Переменные решения x1, x2 неотрицательны:
x1? 0, x2 ? 0. (4)
Получаем задачу линейного программирования: необходимо максимизировать целевую функцию (1) — доход от реализации продукции — при условии, что на переменные x1, x2 наложены ограничения (2), (3) и (4).
Для решения задачи в Excel создаем на рабочем листе табличный вариант модели оптимизации (1) - (4) (рис. 1).
Рис. 1. Ввод данных в лист Excel
Вводим необходимую информацию в надстройку «Поиск решения» (рис. 2).
Рис. 2. Ввод данных в надстройку «Поиск решения»
Получаем на рабочем листе Excel оптимальное решение (рис. 3).
Рис. 3. Оптимальное решение
Найденная «Поиском решения» оптимальная производственная программа (ячейки В8, С8, — рис. 3):
x1=0 акров
x2=400 акров
То есть, чтобы получить максимальную прибыль нужно всю площадь засеять соей.
Эту же задачу можно решить графическим способом (рис. 4).
Для этого нанесем в виде графиков ограничения (2), (3) и (4).
Серым цветом на графике выделена область допустимых значений. Поскольку коэффициенты целевой функции положительны, то в этом квадранте по мере удаления от центра значение целевой функции будет возрастать. Примем Z=0. тогда коэффициент при х1 будет равен -4. Ясно, что в данной системе координат он не изменится и определит угол наклона прямой к оси х1. Прямую с таким наклоном можно построить в точке, где х2=0. Это будет максимум целевой функции, что и подтверждается расчетами, сделанными аналитическим способом.
Рис. 4. Решение задачи оптимизации прибыли графическим способом