Оглавление




1        Элементарные преобразования графиков: параллельный перенос, сжатие и растяжение графиков        2

2        Числовые последовательности, предел последовательности, прогрессии        4

3        Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке (глобальный  экстремум)        5

4        Найти предел функции        6

5        Исследовать сходимость ряда        6

6        Найти производную функции        6


1 Элементарные преобразования графиков: параллельный перенос, сжатие и растяжение графиков

     Параллельный сдвиг графика. Во многих случаях графики функций могут быть построены путем некоторых преобразований уже известных графиков других функций более простого вида. Так, если известен график функции y = f(x), то можно построить графики функций вида: y = f(x) + ?,    y = f(x + ?).

     Построение графика функции y = f(x) + ? (сдвиг графика в направлении оси ординат). Ординаты графика функции y = f(x) + ? получаются из ординат графика функции y = f(x) прибавлением постоянного слагаемого ?, т. е. для получения графика y = f(x) + ? надо весь график y = f(x) переместить параллельно оси Оу на |?| единиц вверх или вниз, смотря по знаку ? (рис. 1).

     Рис. 1

     Построение графика функции y = f(x + ?) (сдвиг графика в направлении оси абсцисс). Пусть по графику функции y = f(x) нужно построить график функции y = f(x + ?). Эту задачу можно решить переносом графика функции y = f(x) на |?| единиц масштаба влево, если ? > 0, и вправо, если ? < 0 (Рис. 2).

     Рис. 2

     По графику функции y = f(x) можно также построить график функции вида: y = ?f(х),    ? = const Ф 0.

     График функции y = ?f(х) получится из графика функции y = f(x) умножением всех ординат на одно и то же число ?. Если ?> 1 (например, ? = 2, как на рис. 3.), то можно сказать, что график растягивается в ? раз в направлении оси Оу.  При ? < 1 (на рис. 3 показан случай ? =1/2) "растяжение" в ? раз удобней назвать сжатием (в 1/ ? раз).

     Рис.3

     По графику функции y = f(x) найти график функции y = f(?x). Пусть сначала ? >1. Тогда точкам графика y = f(x) с координатами (х,у) можно поставить в соответствие точки графика y=f(?x) с теми же ординатами у и абсциссами х/? в ? раз меньшими, чем абсциссы х графика y = f(?x). Так, в случае ? = 2 будут  получаться равные значения функций y = f(x) и y = f(2x), выбирая для второй вдвое меньшие абсциссы, чем для первой. При 0 < ? < 1 действие деления абсцисс х на ? приведет не к уменьшению (сжатию), а к увеличению (растяжению) абсцисс.

     Рис.4

     На рис. 4 показаны график некоторой функции y = f(x) (заданной на сегменте [a,b]) и графики функций y = f(2x), y=f(x/2). Область оси Ох, в которой задана функция y = f(x), соответственно растягивается или сжимается.

2 Числовые последовательности, предел последовательности, прогрессии

     Числовые последовательности. Если каждому натуральному числу п поставлено в соответствие число хп, то говорят, что дана числовая последовательность х1, х2 ,..., хп,   или, короче, последовательность {хп}. Чтобы задать числовую последовательность, надо задать закон (правило), по которому каждому натуральному числу ставится в соответствие некоторое число, т.е. каждая числовая последовательность может рассматриваться как функция, область определения которой - множество всех натуральных чисел.

     Предел последовательности. Пусть дана числовая последовательность {аn}. Число а называется пределом числовой последовательности {аn}, если для любого положительного числа ? найдется номер N такой, что для любого п>N справедливо неравенство |аn -а|< ?.

     Например, очевидно, что пределом последовательности {аn}, где аn = с, является число с.

     Арифметическая прогрессия. Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d - разностью арифметической прогрессии.

     Таким образом, арифметическая прогрессия - это числовая последовательность (ап), заданная рекуррентно соотношениями:

      a1=a, ап= ап-1+ d,(n=2,3,4,...).

     Числовую последовательность, все члены которой отличны от 0 и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией. При этом число q называют знаменателем геометрической прогрессии.

     Таким образом, геометрическая прогрессия - это числовая последовательность (bп), заданная рекуррентно соотношениями:

      b1= b, bп= bп-1*q,(n=2,3,4,...).

     b и q - заданные числа, b и q не равны нулю.

3 Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке (глобальный  экстремум)

Глобальным экстремумом называются наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой ограниченной области D. Пусть функция z=x(x, у) непрерывна в этой области. Тогда найдется точка (х0, у0), в которой функция принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если точка (х0, у0) лежит внутри области D, она является стационарной, и в ней может достигаться локальный максимум или минимум. Наибольшее или наименьшее значение функция может принимать также на границе области.