Оглавление




1        Элементарные преобразования графиков: параллельный перенос, сжатие и растяжение графиков        2

2        Числовые последовательности, предел последовательности, прогрессии        4

3        Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке (глобальный  экстремум)        5

4        Найти предел функции        6

5     & последовательности, предел последовательности, прогрессии

     Числовые последовательности. Если каждому натуральному числу п поставлено в соответствие число хп, то говорят, что дана числовая последовательность х1, х2 ,..., хп,   или, короче, последовательность {хп}. Чтобы задать числовую последовательность, надо задать закон (правило), по которому каждому натуральному числу ставится в соответствие некоторое число, т.е. каждая числовая последовательность может рассматриваться как функция, область определения которой - множество всех натуральных чисел.

     Предел последовательности. Пусть дана числовая последовательность {аn}. Число а называется пределом числовой последовательности {аn}, если для любого положительного числа ? найдется номер N такой, что для любого п>N справедливо неравенство |аn -а|< ?.

     Например, очевидно, что пределом последовательности {аn}, где аn = с, является число с.

     Арифметическая прогрессия. Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d - разностью арифметической прогрессии.

     Таким образом, арифметическая прогрессия - это числовая последовательность (ап), заданная рекуррентно соотношениями:

      a1=a, ап= ап-1+ d,(n=2,3,4,...).

     Числовую последовательность, все члены которой отличны от 0 и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией. При этом число q называют знаменателем геометрической прогрессии.

     Таким образом, геометрическая прогрессия - это числовая последовательность (bп), заданная рекуррентно соотношениями:

      b1= b, bп= bп-1*q,(n=2,3,4,...).

     b и q - заданные числа, b и q не равны нулю.

3 Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке (глобальный  экстремум)

     Глобальным экстремумом называются наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой ограниченной области D. Пусть функция z=x(x, у) непрерывна в этой области. Тогда найдется точка (х0, у0), в которой функция принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если точка (х0, у0) лежит внутри области D, она является стационарной, и в ней может достигаться локальный максимум или минимум. Наибольшее или наименьшее значение функция может принимать также на границе области.




такой, что для любого п>N справедливо неравенство |аn -а|< ?.

     Например, очевидно, что пределом последовательности {аn}, где аn = с, является число с.

     Арифметическая прогрессия. Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d - разностью арифметической прогрессии.

     Таким образом, арифметическая прогрессия - это числовая последовательность (ап), заданная рекуррентно соотношениями:

      a1=a, ап= ап-1+ d,(n=2,3,4,...).

     Числовую последовательность, все члены которой отличны от 0 и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией. При этом число q называют знаменателем геометрической прогрессии.

     Таким образом, геометрическая прогрессия - это числовая последовательность (bп), заданная рекуррентно соотношениями:

      b1= b, bп= bп-1*q,(n=2,3,4,...).

     b и q - заданные числа, b и q не равны нулю.

3 Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке (глобальный  экстремум)

     Глобальным экстремумом называются наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой ограниченной области D. Пусть функция z=x(x, у) непрерывна в этой области. Тогда найдется точка (х0, у0), в которой функция принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если точка (х0, у0) лежит внутри области D, она является стационарной, и в ней может достигаться локальный максимум или минимум. Наибольшее или наименьшее значение функция может принимать также на границе области.