Содержание
Задача № 1 2
Задача № 2 3
Задача № 3 4
Задача № 4 5
Задача № 1
Найти ранг матрицы
Являются ли строки матрицы А линейно независимыми?
Решение:
Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Ранг матрицы А будем обозначать r(A).
Выделяем 1-ю, 2-ю строки, а также 2-й и 3-й столбцы, получаем минор второго порядка
Минор 3-го порядка, окаймляющий минор
Оба минора 4-го порядка, равны 0
Поэтому ранг полученной матрицы А равен 3.
Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк и столбцов.
Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы). Таким образом матрица А имеет три линейно независимые строки.
Ответ: r(A)=3
Задача № 2
Найти предел
Решение:
Используя следующие свойства пределов:
(а>0)
(а>0)
где a-любое число.
получим:
Для раскрытия неопределенности () умножив и разделив выражение на сопряженное выражение, получим
Ответ:
Задача № 3
Найти производную функции
Решение:
Используя следующие свойства производной
1) ,
2)
3)
4)
5)
6) где функции, C-постоянная находим:
Ответ:
Задача № 4
Площадь занимающая печатным текстом, составляет на страницы книги 432 кв.см Ширина полей вверху и внизу страницы составляет 2 см а ширина боковых полей по 1,5см какова должны быть ширина и высота страницы что бы количество израсходованной бумаги было наименьшим?
Решение:
Поскольку площадь печатного текста задана жестко, экономия бумаги осуществляется за счет ширины и высоты страницы. Таким образом в задаче необходимо найти минимальный периметр печатной страницы.
Пусть х-ширина печатной страницы, см
Тогда высота у равна 432/х, см.
Периметр печатной страницы определится как ,см
Используя метод диффиренцального исчесления определим минимум данной функции.
Область диффиренцирования данной функции вся числовая прямая кроме х=0. Чтобы определить точки минимума и максимума функции находим ее производную.
Решая полученное уравнения получим точки минимума и максимума
Уравнение имеет два корня х1=20,8 и х2=-20,8, но последний исключается по условию задачи (периметр не может быть отрицательным).
Область определения функции разбивается на 2 интервала. Подставляя в выражении для производной у значения х=20 и х=30 , получим соответственно знаки "-" и "+". Следовательно в точке х=20,8 функция имеет минимум.