Содержание

Задача № 1        2

Задача № 2        3

Задача № 3        4

Задача № 4        5

Задача № 1

     Найти ранг матрицы

     Являются ли строки матрицы А линейно независимыми?

     Решение:

     Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Ранг матрицы А будем обозначать r(A).

     Выделяем 1-ю, 2-ю строки, а также 2-й и 3-й столбцы, получаем минор второго порядка

     Минор 3-го порядка, окаймляющий минор 

          

     Оба минора 4-го порядка, равны 0

         

     Поэтому ранг полученной матрицы А равен 3.

            Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк и столбцов.

     Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы). Таким образом матрица А имеет три линейно независимые строки.

     Ответ:  r(A)=3

Задача № 2

     Найти предел

     Решение:

     Используя следующие свойства пределов:

      (а>0)

       (а>0)

     где a-любое число.

     получим:

     Для раскрытия неопределенности () умножив и разделив выражение на сопряженное выражение, получим

     Ответ:

       

Задача № 3

       Найти производную функции

       

     Решение:

     Используя следующие свойства производной

     1) ,

     2)

     3)

     4)

     5)

     6)  где функции, C-постоянная находим:

     Ответ:

Задача № 4

     Площадь занимающая печатным текстом, составляет на страницы книги 432 кв.см Ширина полей вверху и внизу страницы составляет 2 см а ширина боковых полей по 1,5см какова должны быть  ширина и высота страницы что бы количество израсходованной бумаги  было наименьшим? 

     Решение:

     Поскольку площадь печатного текста  задана жестко, экономия бумаги осуществляется за счет ширины и высоты страницы. Таким образом в задаче необходимо найти минимальный периметр печатной страницы.

     Пусть х-ширина печатной страницы, см

     Тогда высота у равна 432/х, см.

     Периметр печатной страницы определится как ,см

     Используя метод диффиренцального исчесления определим минимум данной функции.

     Область диффиренцирования данной функции вся числовая прямая кроме х=0. Чтобы определить точки минимума и максимума функции находим ее производную.

       Решая полученное уравнения  получим точки минимума и максимума    

Уравнение имеет два корня х1=20,8 и х2=-20,8, но последний исключается по условию задачи (периметр не может быть отрицательным).

Область определения функции разбивается на 2 интервала. Подставляя в выражении для производной у значения х=20 и х=30 , получим соответственно знаки "-" и  "+". Следовательно в  точке х=20,8 функция имеет минимум.