Содержание
Задание №1 2
Задание № 2 4
Задание № 3 6
Задание № 4 8
Задание № 5 9
Задание № 6 10
Задание №1
Найти определенные интегралы.
?_0^?-x^2 e^(-x) dx
Решение:
Данный интеграл несобственный, так как один из концов интегрирования удален в бесконечность, решим этот интеграл методом интегрирования по частям.
Полагаем u=x^2, dv=e^(-x) dx.
Подведем функцию под знак интеграла:
dv=e^(-x) dx=d(-e^(-x) )
Для применения интегрирования по частям вычислим du и v:
du=2xdx v=?_0^?-?e^(-x) dx=?-e?^(-x) ?
Согласно формуле интегрирования по частям имеем:
?_0^?-x^2 e^(-x) dx=?-x?^2*e^(-x) |_0^?+?_0^?-?2x*e?^(-x) dx.
Итак исходный интеграл свелся к вычислению интеграла, к нему опять примем формулу интегрирования по частям:
?_0^?-?x*e?^(-x) dx=-?x*e?^(-x)-?_0^?-e^(-x) dx
Итак получили интеграл табличного типа:
?_0^?-e^(-x) dx=-e^(-x) |_0^?
Суммируя произведенные вычисления, имеем окончательно:
?_0^?-x^2 e^(-x) dx=-x^2*e^(-x) |_0^?-2х?*e?^(-x) |_0^?-?2e?^(-x) |_0^?=2
Следовательно, данный интеграл сходиться.
Ответ:?_0^?-x^2 e^(-x) dx=2
2. ?_0^1-?ln?^2 (x)dx
Решение:
Решим данный интеграл методом интегрирования по частям.
Принимаем u=?ln?^2 (x) и dv=dx, тогда du=2 ln??x*1/x? dx а v=?_0^1-?dx=x? и, применяя формулу, имеем:
?_0^1-?ln?^2 (x)dx=x*?ln?^2 (x) |_0^1-?_0^1-?x*2/x ln?x dx=?
=x*?ln?^2 (x) |_0^1-2?_0^1-?ln?x dx?
Интеграл ?_0^1-?ln?x dx? находим по частям, принимая u=ln?x и dv=dx.
Имея в виду что du=dx/x и v=x, получим:
?_0^1-?ln?x dx=x*ln??x|_0^1-?_0^1-?x*1/x dx?? ?=x*ln??x|_0^1-x|_0^1=? x*(ln??x-1? ) |_0^1
А искомый интеграл будет иметь вид:
?_0^1-?ln?x dx=x*?ln?^2 (x) |_0^1-2*x*(ln??x-1? ) |_0^1=?2
Ответ: ?_0^1-?ln?x dx=2?
?-(x^2-8x+7)/?(x^2-3x-10)?^2 dx
Решение:
Введем новую переменную t положив ее равной половине производной знаменателя. t=(2x-3)/2.
Тогда x=t/2+3/2, dx=dt
Следовательно:
?-(x^2-8x+7)/?(x^2-3x-10)?^2 dx=?-?(?(2x-3)/2?^2-8 (2x-3)/2+7)/?(?(2x-3)/2?^2-3 (2x-3)/2-10)?^2 dx=?
=(-27)/(49(x+2))-30/343 ln??(x+2)+8/(49(x-5))?+30/343 ln?(x+5)
Ответ: ?-(x^2-8x+7)/?(x^2-3x-10)?^2 dx=(-27)/(49(x+2))-30/343 ln??(x+2)+8/(49(x-5))?+30/343 ln?(x+5)
Подынтегральная функция интеграла ?-(x^2-8x+7)/?(x^2-3x-10)?^2 dx
является рациональной дробью.
?_6^10-v((4-x)/(x-12)) dx
Решение:
Интеграл ?_6^10-v((4-x)/(x-12)) dx можно привести к интегралу от рациональных функций методом замены переменной.
Принимаем v((4-x)/(x-12))=z, тогда x=(4+12z^2)/z^2 dx и dx=(2z(4+12z^2 )-24z)/z^4 dz
Следовательно: ?_6^10-v((4-x)/(x-12)) dx=?_6^10-?z*(2z(4+12z^2 )-24z)/z^4 dz=(-[-v(-x^(2 )+16x+48 )+ 4 ?sin^(-1) (???1/4? x-2)]*v((-x-4)/(x-12))*(x-12)/v(-(x-4)(x-12) )) ? |_6^10=-2v3- 2/3 ?+4iv3+4i(-2i+iv3)
Ответ: ?_6^10-v((4-x)/(x-12)) dx=-2v3- 2/3 ?+4iv3+4i(-2i+iv3)
Задание № 2
Исследовать функцию и построить ее график. При исследовании необходимо осветить вопросы, указанные в схеме исследования функции.
у = х + е-х
Общая схема исследования функций и построения их графиков функций
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность - нечетность.
3. Найти вертикальные асимптоты.
4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.
5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.
6. Найти интервалы выпуклости графика функции и точки перегиба.
7. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.
Решение:
Область определения функции - вся числовая прямая.
f(-x)=-х + е^(x )=-(х + е^(-х) )?f(x), т.е. функция не удовлетворяет равенствам f(-x)=f(-x) и f(-x)=-f(x)является. Значит, функция не является ни четной, ни нечетной.
Так как уравнение не имеет вещественных корней, то график функции не имеет точек пересечения с осью 0X, но пересекает ось 0Y в точке (0,1).
Функция не имеет точек разрыва, так как область определения функции вся числовая прямая, следовательно, функция не имеет вертикальной асимптоты.
Если x?(>+ )+? (x?(>+ )-? ), то у?(>+ )+? (у?(>+ )-? ), следовательно горизонтальной асимптоты у графика нет. Далее из существования пределов
к=limT(х>±?)??(f(x))/(x )?=limT(х>±?)??(x+e^(-x))/(x )=±1?
b=limT(х>±?)??(f(x)-kx)?=limT(х>±?)??(x+e^(-x)-x)=0?
вытекает, что при x?(>+ )+? (x?(>+ )-? ) график функции имеет наклонные асимптоты у=±х.
Для нахождения точек возможного экстремума вычислим первую производную функции:
(f(x)) ?=x ?+(e^(-x) ) ?=1-e^(-x)
Решая уравнение 0=1-e^(-x), получим точку возможного экстремума.
1=e^(-x)