Содержание
Задание № 1 2
Задание № 2 5
Задание № 3 7
Задание № 4 8
Задание № 5 10
Задание № 1
Исследовать функцию и построить ее график. При исследовании необходимо осветить вопросы, указанные в схеме исследования функции.
у = х + е-х
Общая схема исследования функций и построения их графиков функций
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность - нечетность.
3. Найти вертикальные асимптоты.
4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.
5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.
6. Найти интервалы выпуклости графика функции и точки перегиба.
7. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.
Решение:
1. Область определения функции - вся числовая прямая.
2. , т.е. функция не удовлетворяет равенствам и является. Значит, функция не является ни четной, ни нечетной.
3. Так как уравнение не имеет вещественных корней, то график функции не имеет точек пересечения с осью 0X, но пересекает ось 0Y в точке (0,1).
4. Функция не имеет точек разрыва, так как область определения функции вся числовая прямая, следовательно, функция не имеет вертикальной асимптоты.
5. Если , следовательно горизонтальной асимптоты у графика нет. Далее из существования пределов
вытекает, что при график функции имеет наклонные асимптоты .
6. Для нахождения точек возможного экстремума вычислим первую производную функции:
Решая уравнение , получим точку возможного экстремума.
-точка возможного экстремума. Найдем интервалы возрастания и убывания функции.
Следовательно, точка -точка минимума.
Отсюда следует, что функция убывает на промежутке (-?;0) и возрастает на промежутке (0;+?).
7. Для нахождения критических точек вычислим вторую производную:
Так как в нуль не обращается, то критических точек нет.
По данным исследования строим график функции.
Рис. 1 График функции у = х + е-х
Задание № 2
Опытным путем установлена функция спроса и предложения s=p+0.5, где q и S - количество товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени. Найдите:
а) равновесную цену, т.е. цену, при которой спрос и предложение уравновешиваются;
б) Эластичность спроса и предложения для этой цены;
в) изменение дохода при увеличении цены на 5% от равновесной. (Р = 2ар, где а =24 ).
Решение:
1. Равновесная цена это цена, при которой спрос и предложение уравновешиваются, следовательно . Таким образом, чтобы найти равновесную цену необходимо решить уравнение:
Решаем полученное квадратное уравнение методом дискриминанта: