Содержание

Задание № 1        2

Задание № 2        5

Задание № 3        7

Задание № 4        8

Задание № 5        10

Задание № 1

     Исследовать функцию и построить ее график. При исследовании необходимо осветить вопросы, указанные в схеме исследования функции.

     у = х + е-х

     Общая схема исследования функций и построения их графиков функций

     1.   Найти область определения функции.

     2.   Исследовать функцию на четность - нечетность.

     3.   Найти вертикальные асимптоты.

     4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.

     5.   Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

     6.   Найти интервалы выпуклости графика функции и точки перегиба.

     7. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

     Решение:

1. Область определения функции - вся  числовая прямая.

2. , т.е. функция не удовлетворяет равенствам и  является. Значит, функция не является ни четной, ни нечетной. 

3. Так как уравнение не имеет вещественных корней, то график функции не имеет точек пересечения с осью 0X, но пересекает ось 0Y в точке (0,1).

4. Функция не имеет точек разрыва, так как область определения функции вся числовая прямая, следовательно, функция не имеет вертикальной асимптоты.

5. Если , следовательно горизонтальной асимптоты у графика нет. Далее из существования пределов

вытекает, что при  график функции имеет наклонные асимптоты .

6. Для нахождения точек возможного экстремума вычислим первую производную функции:

Решая уравнение , получим точку возможного экстремума.

-точка возможного экстремума. Найдем интервалы возрастания и убывания функции.

     Следовательно, точка -точка минимума.

     Отсюда следует, что функция убывает на промежутке (-?;0) и возрастает на промежутке (0;+?).

7. Для нахождения критических точек вычислим вторую производную:

Так как  в нуль не обращается, то критических точек нет.

По данным исследования строим график функции.

     Рис. 1 График функции у = х + е-х

Задание № 2

      Опытным путем установлена функция спроса               и предложения s=p+0.5, где q и S - количество товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени. Найдите:

     а) равновесную цену, т.е. цену, при которой спрос и предложение уравновешиваются;

     б)  Эластичность спроса и предложения для этой цены;

     в)   изменение дохода при увеличении цены на 5% от равновесной. (Р = 2ар, где а =24 ).

     Решение:

1. Равновесная цена это цена, при которой спрос и предложение уравновешиваются, следовательно . Таким образом, чтобы найти равновесную цену необходимо решить уравнение:

     Решаем полученное квадратное уравнение методом дискриминанта: