Содержание
Задание № 1 2
Задание № 2 5
Задание № 3 7
Задание № 4 8
Задание № 5 10
Задание № 1
Исследовать функцию и построить ее график. При исследовании необходимо осветить вопросы, указанные в схеме исследования функции.
у = х + е-х
Общая схема исследования функций и построения их графиков функций
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность - нечетность.
3. Найти вертикальные асимптоты.
4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.
5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.
6. Найти интервалы выпуклости графика функции и точки перегиба.
7. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.
Решение:
Область определения функции - вся числовая прямая.
f(-x)=-х + е^(x )=-(х + е^(-х) )?f(x), т.е. функция не удовлетворяет равенствам f(-x)=f(-x) и f(-x)=-f(x)является. Значит, функция не является ни четной, ни нечетной.
Так как уравнение не имеет вещественных корней, то график функции не имеет точек пересечения с осью 0X, но пересекает ось 0Y в точке (0,1).
Функция не имеет точек разрыва, так как область определения функции вся числовая прямая, следовательно, функция не имеет вертикальной асимптоты.
Если x?(>+ )+? (x?(>+ )-? ), то у?(>+ )+? (у?(>+ )-? ), следовательно горизонтальной асимптоты у графика нет. Далее из существования пределов
к=limT(х>±?)??(f(x))/(x )?=limT(х>±?)??(x+e^(-x))/(x )=±1?
b=limT(х>±?)??(f(x)-kx)?=limT(х>±?)??(x+e^(-x)-x)=0?
вытекает, что при x?(>+ )+? (x?(>+ )-? ) график функции имеет наклонные асимптоты у=±х.
Для нахождения точек возможного экстремума вычислим первую производную функции:
(f(x)) ?=x ?+(e^(-x) ) ?=1-e^(-x)
Решая уравнение 0=1-e^(-x), получим точку возможного экстремума.
1=e^(-x)
ln?1=-x
x=0-точка возможного экстремума. Найдем интервалы возрастания и убывания функции.
f^'(-1) =1-e^1=-1,72
f^'(-2) =1-e^2=-6,38
f^'(1) =1-e^(-1)=+0,63
f'(2)=2+e^(-2)=+0,86
Следовательно, точка x=0-точка минимума.
Отсюда следует, что функция убывает на промежутке (-?;0) и возрастает на промежутке (0;+?).
Для нахождения критических точек вычислим вторую производную:
f(x)''=(1-e^(-x) )^'=e^(-x)
Так как f(x)'' в нуль не обращается, то критических точек нет.
По данным исследования строим график функции.
Рис. 1 График функции у = х + е-х
Задание № 2
Опытным путем установлена функция спроса q=(p+8)/(p+2) и предложения s=p+0.5, где q и S - количество товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени. Найдите:
а) равновесную цену, т.е. цену, при которой спрос и предложение уравновешиваются;
б) Эластичность спроса и предложения для этой цены;
в) изменение дохода при увеличении цены на 5% от равновесной. (Р = 2ар, где а =24 ).
Решение:
Равновесная цена это цена, при которой спрос и предложение уравновешиваются, следовательно q=s. Таким образом, чтобы найти равновесную цену необходимо решить уравнение:
(p+8)/(p+2)=p+0,5
p+8=(p+0,5)*(p+2)
p+8=p^2+2p+0,5p+1
p^2+2,5p-p+1-8=p+8
p^2+1,5p-7=0
Решаем полученное квадратное уравнение методом дискриминанта:
p^2+1,5p-7=0
D=?1,5?^2+4*1*7=2,25+28=30,25
p_(1 )=(-1,5+v30,25)/2=2
p_(1 )=(-1,5-v30,25)/2=-3,5
Второй корень не подходит по условию задачи, так как цена не может быть отрицательной, следовательно, равновесная цена равна
p=2