Содержание



Задание № 1        2

Задание № 2        5

Задание № 3        7

Задание № 4        8

Задание № 5        10





Задание № 1

Исследовать функцию и построить ее график. При исследовании необходимо осветить вопросы, указанные в схеме исследования функции.

у = х + е-х

Общая схема исследования функций и построения их графиков функций

1.   Найти область определения функции.

2.   Исследовать функцию на четность - нечетность.

3.   Найти вертикальные асимптоты.

4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.

5.   Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6.   Найти интервалы выпуклости графика функции и точки перегиба.

7. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Решение:

Область определения функции - вся  числовая прямая.

f(-x)=-х + е^(x )=-(х + е^(-х) )?f(x), т.е. функция не удовлетворяет равенствам f(-x)=f(-x) и  f(-x)=-f(x)является. Значит, функция не является ни четной, ни нечетной. 

Так как уравнение не имеет вещественных корней, то график функции не имеет точек пересечения с осью 0X, но пересекает ось 0Y в точке (0,1).

Функция не имеет точек разрыва, так как область определения функции вся числовая прямая, следовательно, функция не имеет вертикальной асимптоты.

Если x?(>+  )+? (x?(>+  )-? ), то у?(>+  )+? (у?(>+  )-? ), следовательно горизонтальной асимптоты у графика нет. Далее из существования пределов

к=limT(х>±?)??(f(x))/(x )?=limT(х>±?)??(x+e^(-x))/(x )=±1?

b=limT(х>±?)??(f(x)-kx)?=limT(х>±?)??(x+e^(-x)-x)=0?

вытекает, что при x?(>+  )+? (x?(>+  )-? ) график функции имеет наклонные асимптоты у=±х.

Для нахождения точек возможного экстремума вычислим первую производную функции:

(f(x)) ?=x ?+(e^(-x) ) ?=1-e^(-x)


Решая уравнение 0=1-e^(-x), получим точку возможного экстремума.

1=e^(-x)

ln?1=-x

x=0-точка возможного экстремума. Найдем интервалы возрастания и убывания функции.

f^'(-1) =1-e^1=-1,72

f^'(-2) =1-e^2=-6,38

f^'(1) =1-e^(-1)=+0,63

f'(2)=2+e^(-2)=+0,86

Следовательно, точка x=0-точка минимума.

Отсюда следует, что функция убывает на промежутке (-?;0) и возрастает на промежутке (0;+?).

Для нахождения критических точек вычислим вторую производную:

f(x)''=(1-e^(-x) )^'=e^(-x)

Так как f(x)'' в нуль не обращается, то критических точек нет.

По данным исследования строим график функции.


Рис. 1 График функции у = х + е-х



Задание № 2

Опытным путем установлена функция спроса        q=(p+8)/(p+2)       и предложения s=p+0.5, где q и S - количество товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени. Найдите:

а) равновесную цену, т.е. цену, при которой спрос и предложение уравновешиваются;

б)  Эластичность спроса и предложения для этой цены;

в)   изменение дохода при увеличении цены на 5% от равновесной. (Р = 2ар, где а =24 ).

Решение:

Равновесная цена это цена, при которой спрос и предложение уравновешиваются, следовательно q=s. Таким образом, чтобы найти равновесную цену необходимо решить уравнение:

(p+8)/(p+2)=p+0,5

p+8=(p+0,5)*(p+2)

p+8=p^2+2p+0,5p+1

p^2+2,5p-p+1-8=p+8

p^2+1,5p-7=0

Решаем полученное квадратное уравнение методом дискриминанта:

p^2+1,5p-7=0

D=?1,5?^2+4*1*7=2,25+28=30,25

p_(1 )=(-1,5+v30,25)/2=2

p_(1 )=(-1,5-v30,25)/2=-3,5

Второй корень не подходит по условию задачи, так как цена не может быть отрицательной, следовательно, равновесная цена равна

p=2