Содержание

Задание № 1        2

Задание № 2        4

Задание № 3        5

Задание № 4        8

Задание № 5        10

Задание № 6        11

Задание № 7        12

Задание № 8        13

Задание № 9        14

Задание № 10        15

Список литературы        16

Задание № 1

Найти производную функций:

а) у=((x^2-2x+1)/(x+1))^8

Решение:

Используя свойства производной:

(U^a )^'=a*U^(a-1)*U^'

(U/V)^'=(V*U^'-V'*U^ )/V^2

где функции, находим:

у ?=8*((x^2-2x+1)/(x+1))^7*((x^2-2x+1)/(x+1))^'=8*((x^2-2x+1)/(x+1))^7*((?x+1)*(2x?^ -2)-1*(x^2-2x+1))/?(x+1)?^2 =

=8*((x^2-2x+1)/(x+1))^7*(x^2+2x-3)/?(x+1)?^2

Ответ: у ?=8*(x^2-2x+1)^7/?(x+1)?^2 *(2x-2)-8 (x^2-2x+1)^8/?(x+1)?^9

б) у=1/12  ?ln ^4???(x^3+3)?

Решение:

Используя свойства производной:

(lnU)^'=1/U*U'

у ?=4/12  ?ln ^3???(x^3+3)*(3x^2)/((x^3+3) )=?ln ^3???(x^3+3)*x^2/((x^3+3) )? ?

Ответ: у ?=?ln ^3???(x^3+3)*x^2/((x^3+3) )?

в) у=2cos ^2 x*sinx?

Решение:

Используя свойства производной:

(UV)^'=U^'*V+U*V'

(sinx)^'=cosx

(cosx)^'=-sinx

где функции, находим:

у ?=-4cosx*sinx*sinx+2cos ^2 x*cosx=-4cosx*sin^2 x+2cos^3 x

Ответ: у ?=-4cosx*sin^2 x+2cos^3 x

Задание № 2

Составьте уравнение касательной к графику функции

у=e ^2x в точке пересечения с осью Оу.

у=e ^2x

Уравнение касательной функции f(x) в точке х_0 примет вид:

y-f(x_0 )=f^'(x_0 )  (x-x_0)

В точке пересечения с осью ОУ у=0. Так как график показательной функции не пересекает ось ОХ, поскольку  e ^2x>0 при всех ; ось OY график  функции пересекает в единственной точке . Других точек нет, так как функция e ^2x является монотонной на .

Найдем значение f(x_0 ).

f(x_0 )=f(0)=e ^(2*0)=1

В точке (0,1) уравнение касательной примет следующий вид:

y-1=(e ^2x )^'*(x-0)=2х*e ^2x

Ответ:y-1=2х*e ^2x

Задание № 3

Исследовать функцию и построить ее график:

y=?(x-1)?^3/?(x+1)?^2

Решение:

1.Областью определения функции является множество всех вещественных чисел, кроме х=-1, так как в этом случае знаменатель обращается в нуль. Следователь функция имеет точку разрыва при х=-1.

2. f(-2)= -27,  следовательно функция нечетная. Функция не периодичная.

3.При х=-1 график имеет вертикальную асимптоту.

limT(х>-1)???(x-1)?^3/?(x+1)?^2 =-??

4. Рассмотрим поведение функции в бесконечности. Функция не имеет горизонтальных асимптот так как предел функции при х=?? стремиться к ?.

limT(х>??)???(x-1)?^3/?(x+1)?^2 =???

Далее из существования пределов:

limT(х>??)???f(x)?^ /x=1?

limT(х>??)??f(x)-x=-5?

Вытекает, что при х>?? график функции имеет наклонную асимптоту у=кх-5.

5.Для нахождения точек возможного экстремума вычислим первую производную функции:

у ?=3 (x-1)^2/(x+1)^2 -2 (x-1)^3/(x+1)^3

Прировняв производную к нулю найдем точки возможного экстремума функции.