VI. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства.

Логарифмы. Пусть (основание логарифма) и положительные числа, причем отлично от 1. Запись равнозначна записи , так что имеем тождество: .

Основные свойства логарифмов.

1.		2.
3.		4.
5.		6.
7.		8.

Функция , называется логарифмической функцией.

Логарифмическая функция является обратной по отношению к показательной функции . Поэтому их графики симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов (рис. 8).

Рис. 8.

Приведем основные свойства логарифмической функции:

1) Область определения: .

2) Область значений функции: .

3) Логарифм единицы равен нулю, логарифм основания равен единице: , .

4) Функция , возрастает в промежутке (рис. 8 а). При этом, логарифмы чисел, больших единицы, положительны, а - меньших единицы, отрицательны.

5) Функция , убывают в промежутке (рис. 8 б). При этом, логарифмы чисел, меньших единицы, положительны, а - больших единицы, отрицательны.

Уравнение или неравенство, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным.

Если число представлено алгебраическим выражением, содержащим некоторые числа, то найти логарифм этого выражения – значит выразить логарифм числа через логарифмы этих числа. Нахождение положительного числа по его логарифму называют потенцированием.

Простейшее показательное уравнение имеет вид: , где , , . Уравнение имеет единственное решение. При уравнение не имеет решений.

Если показательное уравнение можно привести к виду , то .

Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид: , где , , - любое действительное число. Тогда уравнение имеет единственное решение .

Уравнение вида , , где и - алгебраические или трансцендентные функции, решаются, как правило, графически.

Пояснения к разделу: