III. Алгебраические уравнения и системы уравнений

Пусть функции и определены на некотором множестве . Поставим задачу: найти множество , на котором эти функции принимают равные значения, другими словами, найти все значения , для которых выполняется равенство: = .

При такой постановке это равенство называется уравнением с неизвестным .

Уравнение называется алгебраическим, если в нем над неизвестным выполняются только алгебраические операции – сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня с натуральным показателем.

Множество называется множеством (областью) допустимых значений неизвестного для данного уравнения.

Множество называется множеством решений, а всякое его решение - корнем данного уравнения

Решить уравнение, – значит, найти множество всех его решений или доказать, что их нет.

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными.

Основная теорема алгебры: всякое целое алгебраическое уравнение степени в области комплексных чисел имеет корней.

Основные правила преобразования уравнения в равносильное ему:

· Какое-нибудь слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком;

· Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и тоже отличное от нуля число;

· Если уравнение имеет вид , то деление обеих его частей на , как правило, недопустимо, поскольку может привести к потере корней; в этом случае могут быть потеряны корни уравнения =0, если они существуют;

· Уравнение вида можно заменить равносильной системой или решить уравнение =0, а затем отбросить те из найденных корней, которые обращают в нуль знаменатель ;

· Уравнение считается решенным неверно как в случае, когда ответ содержит посторонние корни, так и в случае, когда в процессе решения был потерян хотя бы один корень.

Теорема о неэквивалентности уравнений: Если функции и имеют общую область определения, то уравнения = и ²= ² не обязательно являются эквивалентными в этой области.

Теорема об эквивалентности уравнений: Если функции и имеют общую область определения и для каждого значения переменной из области эти функции принимают неотрицательные значения, то уравнения = и ²= ² являются эквивалентными области .

 

Некоторые типы уравнений и их корни

Линейное уравнение
, - любое число	Уравнение имеет единственный корень, определяемый формулой
	Уравнение имеет бесконечное множество корней, – любое число служит его корнем
,	Уравнение корней не имеет, – ни одно число не может обратить его в справедливое равенство

 

Квадратное уравнение , дискриминант
		Среди действительных чисел корней нет

 

Приведенное квадратное уравнение , дискриминант
		Среди действительных чисел корней нет

Любой квадратный трехчлен можно представить в виде , где , (выделен полный квадрат ).

Для приведенного квадратного уравнения и при (т.е., если существуют корни), справедлива теорема Виета:

Квадратный трехчлен при условии можно разложить на линейные множители , где - корни. Если , то и его называют полным квадратом.

Биквадратным уравнением с одной неизвестной величиной называется уравнение вида: . Для ее решения от неизвестной величины надо перейти к новой неизвестной величине с помощью равенства: . Такого рода переход от одной неизвестной величины к другой называется методом замены неизвестных или подстановкой. Таким образом, исходное биквадратное уравнение сведется к квадратному уравнению относительно : .

Иногда при решении уравнений высокой степени с целью упрощения полезно ввести новое неизвестное, и метод замены неизвестных наиболее эффективен.

 

(1) замена получим: (2)
Корни уравнения (2)
Корни уравнения (1)
Ограничения

В некоторых случаях может быть эффективным метод разложения левой части уравнения: =0 на множители:

 

Иррациональным называются уравнения, содержащие неизвестную величину под знаком радикала. Чтобы решить иррациональное уравнение, чаще всего приходится возводить его в степень, при этом нет никакой гарантии, что такого рода действия преобразуют данное уравнение в уравнение ему равносильное. Найдя корни этого уравнения, мы обязаны проверить, не являются ли они посторонними.

Два уравнения вида:

для которых ищется общее решение, образуют систему уравнений первой степени с двумя неизвестными.

Аналогично для любой системы алгебраических уравнений:

Две системы уравнений называют эквивалентными, если всякое решение одной системы является решением другой и, обратно, или если обе системы не имеют решений.

Существует три основных способа решения систем алгебраических уравнений: графический, метод подстановки и метод сложения.

 

Пояснения к разделу: Алгебраические уравнения и системы уравнений.

Процесс решения уравнения состоит в последовательной замене данного уравнения другим, более простым уравнением. Возникает вопрос о законности такой замены. Всегда ли получается уравнение с тем же множеством решений?

При решении уравнений необходимо следить за изменением множества допустимых значений неизвестного. В случае расширения его следует проверять, не является ли найденное решение посторонним для данного уравнения. В случае сужения необходимо убедиться, не являются ли выпавшие значения неизвестных решениями данного уравнения. Задача нахождения потерянных решений не всегда легко выполнима, поэтому желательно избегать тождественных преобразований, ведущих к сужению множества допустимых значений неизвестных уравнения.

Покажем, как решается биквадратное уравнение.

Пример. Решить уравнение: .

Решение. От переменной перейдем к новой неизвестной величине с помощью равенства: .

Таким образом, исходное биквадратное уравнение сведется к квадратному уравнению относительно : . Находим, что:

;

,

откуда находим, что: и .

Следовательно, имеем:

		Корней нет
Ответ: ; .

Встречаются дробно-рациональные уравнения, которые сами не являются биквадратными, а только сводятся к ним. Таково, например, уравнение:

.

Решение. Сложим дроби, расположенные в левой части уравнения:

.

Приравняем к нулю числитель полученной дроби:

.

Преобразовав и упростив левую часть, получим биквадратное уравнение:

.

Решим ее обычным способом, найдем:

; и .

Следовательно, имеем:

Ни одно из этих чисел не обращает в нуль знаменатели дробей в исходном уравнении. Значит, эти числа и представляют собой искомые корни. Итак, данное уравнение имеет следующие четыре корня:

, , , .

Рассмотрим несколько способов решения систем алгебраических уравнений. Пусть надо решить систему уравнений:

I способ (графический). Построим в одной координатной плоскости графики функций и (рис.3). Эти графики пересекаются в четырех точках. Абсциссы и ординаты точек пересечения являются корнями данной системы уравнений. Из рис.3 видно, что значения корней следующие: .

 

II способ (аналитический). Умножим второе уравнение на 2 и сначала сложим с первым, а затем вычтем из первого. Получим:

или

Задача сводится к системе линейных уравнений с двумя неизвестными:

то есть

Применяя к полученным системам метод сложения (т.е. сперва сложим эти уравнения, а далее вычтем из первых – вторые), получим:

т.е. тот же ответ.

Рассмотрим еще один пример решения системы уравнений графическим и аналитическим способами.

Пусть надо решить систему уравнений:

I способ (графический). Построим в одной координатной плоскости графики функций и (рис.4). Эти графики также пересекаются в четырех точках .

II способ (аналитический). Если применить метод подстановки, т.е. подставить в первое уравнение значение переменной , выраженное через , после некоторых упрощений получим биквадратное уравнение:

,

или в каноническом виде: .

Корни последнего уравнения нетрудно найти: .

Откуда, путем обратной подстановки в выражение значений , находим: .

Итак, мы получили тот же ответ: .

Остановимся теперь на основных способах решения простейших иррациональных алгебраических уравнений в области действительных чисел. Они основаны на возможности замены таких уравнений эквивалентными рациональными уравнениями «исключением радикалов».

Методы решения иррациональных уравнений
Уравнения, решаемые с помощью «арифметических» рассуждений
При каждом допустимом значении переменной сумма двух неотрицательных чисел не может быть отрицательна.	Решением уравнения является каждое значение , для которого одновременно:
Уравнение не имеет решений	Откуда =1
Уравнения, решаемые установлением множества допустимых значений
ОДЗ переменной: = .	ОДЗ переменной: =3.
Уравнение не имеет решений	Откуда устанавливаем проверкой, что =3
Способ уединения радикала
ОДЗ переменной
Уединение радикала
Возведение в квадрат
После упрощений
Еще раз возводим в квадрат
После упрощений
В итоге получим	ОДЗ	ОДЗ
Способ введения вспомогательных переменных
Вводим вспомогательные переменные
Эквивалентная система уравнений, причем
Выразим из первого и вычтем второе из третьего
После подстановки
После упрощений	или
В итоге получим	ОДЗ