Доказательство

З а м е ч ан и е. Применив формулу (*) к событию ВА, получим Р(ВА) = Р(В)•Р_В(А), или, поскольку событие ВА не отличается от события АВ, -> Р(АВ) = Р(В)•Рв(А).

Сравнивая формулы Р(АВ) = Р(А)•Р_A(В) и Р(АВ) = Р(В)•Рв(А), заключаем о справедливости равенства Р(А)•Р_А(В) = Р(В)•Рв(А).

Теорема (правило) умножения вероятностей легко обобщается на случай произвольного числа событий:

P(ABC...KL) = Р(А)· Р_А(В)· Р_АВ(С) ... Р_АВС...К(L),

Т.е. вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности других; при этом условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли.

Пример 1. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков - конусный, а второй - эллиптический.

Р е ш е н и е. Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие A), Р(А) = 3 / 10. Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик - конусный, т. е. условная вероятность Р_A(В) = 7 / 9.

По теореме умножения, искомая вероятность Р(АВ) = Р(А)•Р_A(В) = (3/10)• (7/9) = 7/30. Заметим, что, сохранив обозначения, легко найдем: Р(В) = 7/10, Р_B(А) = 3/9, Р(В)•Р_B(А) = 7/30, что наглядно иллюстрирует справедливость равенства.

6. Формулы полной вероятности и Байеса (с доказательством). Примеры.