Доказательство теоремы о полной группе событий
1) Т.к. появление одного из событий полной группы достоверно, а вероятность достоверного события = 1, то Р (A1 + A2 + ... + An) = 1.
2) Любые 2 события полной группы несовместны, поэтому можно применить теорему сложения: Р (А1 + А2 + ... + Аn) = Р (A1) + Р (A2) + ... + Р (Аn).
3) Сравнивая (1) и (2), получим Р (А1) + Р (А2) + ... + Р (Аn) = 1.
5. Зависимые и независимые события. Произведение событий. Понятие условной вероятности. Теорема умножения вероятностей (с доказательством).
События А,Б,В... называют зависимыми друг от друга, если вероятность появления хотя бы одного из них изменяется в зависимости от появления или непоявления других событий.
События называются независимыми, если вероятности появления каждого из них не зависят от появления или непоявления прочих из них.
Событие В называется независимым от события А, если его вероятность не меняется от того, произошло событие А или нет, т.е.
РА(В) = Р(В) (или РА(В)=Р(В)).
В противном случае, если РА(В) ≠ Р(В)(или РА(В) ≠ Р(В)). событие В называется зависимым от А.
Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если А - деталь годная, В - деталь окрашенная, то АВ - деталь годна и окрашена.
Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, если А, В, С - появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то АВС - выпадение «герба» во всех трех испытаниях.
Условной вероятностью (РA(В) - условная вероятность события В относительно А) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. Исходя из классического определения вероятности, формулу РA(В) = Р(АВ) / Р(А) где (Р(А)>0) можно доказать. Это обстоятельство и служит основанием для следующего общего (применимого не только для классической вероятности) определения. Условная вер-ть события В при условии, что событие А уже наступило, по определению, равна РA(В) = Р(АВ) / Р(А) где (Р(A)>0).
Теорема умножения вероятностей зависимых событий.Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: Р(АВ) = Р(А) • РА(В) = Р(В) • РВ(А).