Звеньев механизма

 

Линейные скорости точек звеньев механизма могут быть найдены методом планов скоростей. Пример построения плана скоростей характерных точек механизма рассмотрим для положениямеханизма, показанного на рисунке 12. Построение плана скоростей начнём с ведущего звена О1А, которое вращается относительно точки О1 с угловой скоростью ω1, равной:

, (3)

где n1 – частота вращения ведущего звена, об/мин.

Вектор абсолютной скорости точки А направлен перпендикулярно кривошипу, в сторону его вращения, а модуль скорости определяется из выражения:

.

Выбираем на плоскости произвольную точку р — полюс плана скоростей, которая является началом отсчета (т.е. в этой точке все скорости равны нулю), и откладываем на ней вектор , (перпендикулярный к звену O1A в направлении движения точки А (рис. 12)). Точка а на плане скоростей соответствует точке А на плане механизма.

Длина отрезка ра изображает на плане скоростей вектор скорости точки А и выбирается произвольно, исходя из того, что весь план скоростей займет на чертеже площадь около 100 см2.

Примем длину вектора равной 62,8 мм∙ч, тогда масштабный коэффициент плана скоростей будет:

(4)

и покажет, сколько метров в секунду действительной величины скорости содержится в одном миллиметре отрезка чертежа.

Рассмотрим первую группу Ассура. Скорости шарниров А и О2 нам известны (скорость О2 равна нулю, так как этот шарнир связан со стойкой). Найдём скорость точки В. Составим систему двух векторных уравнений, которая связывает искомую скорость точки со скоростями других характерных точек А и О2. Это можно сделать, так как точка В принадлежит одновременно двум звеньям – 2 и 3. Так как звено 2 совершает плоско – параллельное движение, то скорость точки В будет равна скорости точки А сложенной векторно со скоростью точки В относительно А (относительная скорость обозначается ).

.

Здесь двойной индекс ВА показывает, что скорость является относительной и точка В движется относительно точки А.

Так как вращательное движение звена 3 можно считать частным случаем плоско–параллельного движения, то скорость точки В будет равна скорости точки O2 плюс скорость точки В относительно O2, ( ).

.

Таким образом, получим систему двух векторных уравнений:

. (5)

Условимся под вектором ставить две черты, если он известен нам по величине и по линии действия, и одну черту, если у него известен только один из этих параметров.

В этой системе уравнений известны по модулю и линии действия векторы скоростей точек А и O2 (скорость точки А была определена выше, а скорость точки O2 равна нулю, т.к. она связана со стойкой). Векторы относительных скоростей неизвестны по величине, но известны их линии действия. Вектор перпендикулярен к звену АВ, а вектор перпендикулярен к звену O2B, так как точка В в своем относительном движении будет вращаться одновременно вокруг точек А и O2.

Векторы абсолютных скоростей выходят из полюса, а векторы относительных скоростей не проходят через полюс р.

Система (5) может быть решена графическим методом, путем построения плана скоростей.

В соответствии с первым уравнением системы (5) на плане скоростей через точку а проводим прямую, перпендикулярную к звену АВ механизма (это линия действия вектора ), а в соответствии со вторым уравнением через полюс р (точка о2 – аналог точки O2 на плане механизма – совпадает с полюсом p) проводим на плане прямую, перпендикулярную к звену 3 механизма (это линия действия вектора ). Точка пересечения этих двух прямых определит точку b, которая является концом вектора , изображающего на плане вектор скорости . Вектор на плане механизма изображает вектор относительной скорости точки В относительно точки А: . Вектор абсолютной скорости совпадает с вектором относительной скорости . На плане скоростей они изображаются вектором .

Рис. 12. Пример построения плана скоростей

 

Для определения действительной величины любого из полученных векторов достаточно умножить соответствующий отрезок плана скоростей на масштаб плана скоростей μV. Результат записываем с точностью до трёх значащих цифр. Из плана скоростей определим длину отрезка pb, который позволит найти скорость точки В:

.

Чтобы определить скорость точки C, которая принадлежит звену О2ВС, воспользуемся свойством подобия. Величину рс находим из пропорции:

, (6)

Тогда действительная величина скорости точки C будет равна:

.

Рассмотрим вторую группу Ассура (ВВП), образованную звеньями 4 и 5. Шатун 4 совершает плоско – параллельное движение, ползун 5 – прямолинейное поступательное движение (частный случай плоско–параллельного движения). Тогда система уравнений для скорости точки D будет иметь следующий вид:

. (7)

Где точка – точка, связанная с неподвижной направляющей ползуна (стойкой). Здесь известны по модулю и направлению векторы скоростей точек C и (скорость точки C была определена выше, а скорость точки равна 0). Векторы относительных скоростей неизвестны по величине, но известны по линии действия. Линия действия перпендикулярна звену CD, а направлена вдоль прямой х-х (направляющая движения ползуна 5).

Эту систему уравнений так же решим графическим методом. В соответствии с первым уравнением системы (8) из точки с на плане проводим прямую перпендикулярную к звену CD (это линия действия вектора ). В соответствии со вторым уравнением через полюс р (т.к. равна нулю) проводим на плане прямую параллельную линии движения ползуна 5 (х-х). Точка пересечения этих двух прямых определит точку d, которая является концом вектора , изображающего на плане скоростей вектор скорости . Определим действительную скорость точки D:

.

Вектор на плане механизма изображает вектор относительной скорости точки D относительно точки С, т.е. .

Таким образом, построен план скоростей для всего механизма.

Для нахождений скоростей центров тяжести звеньев – точек S2, S3 и S4 воспользуемся свойством подобия и определим положение этих точек на плане скоростей. Предположим, что центры тяжести звеньев находятся посередине звена, тогда точки s2, s3 и s4 на плане скоростей поделят векторы , , и пополам. Центр тяжести ползуна 5 совпадает с точкой D, поэтому точка s5 на плане скоростей совпадает с точкой d. Т.к. кривошип представляет из себя диск со смещенными осями, то центр тяжести кривошипа s1 совпадает с точкой О1, а значит его скорость равна нулю.

Найденные на плане скоростей точки s2, s3 и s4 соединим с полюсом плана скоростей р и векторы , и будут в масштабе выражать абсолютные скорости центров тяжести звеньев (рис. 13).

Рис. 13. Нахождение скоростей центров тяжести звеньев.

 

Действительные значения скоростей центров тяжести звеньев будут равны:

По результатам построения планов скоростей заполняется таблица 4 абсолютных скоростей точек механизма.

 

Таблица 4. Скорости точек для двенадцати положений механизма, м/с.

скорости № точек положения VB VC VD VS2 VS3 VS4 VS5
0, 12              
             
             
             
             
0,410 0,585 0,510 0,480 0,300 0,550 0,510
             
             
             
             
             
             

Метод планов хорош тем, что позволяет определить любые абсолютные и относительные скорости точек механизма.

Например, определим скорость точки F относительно точки A, т.е. . Примем, что точка F делит звено CD в отношении 1:3.Для этого поделим отрезок cd плана скоростей в соответствующем отношении (используя свойство подобия). Затем соединим точки f и а. Полученный вектор и определит относительную скорость (рис. 14).

Замечание 1. Отметим ещё раз, что все векторы скоростей, выходящие из полюса р – абсолютные, а все векторы скоростей, не выходящие из полюса плана, – относительные.

Замечание 2.План скоростей является своеобразным аналогом плана механизма.

 

Рис. 14. Пример построения скорости