Сложные суждения

Сложным суждением называется суждение, какая-либо часть которого является суждением.

Структура сложных суждений определяется выделением в качестве элементов простых суждений и логических связок.

9.1. Логические связки:

 

/\ - конъюнкция (заменяет союзы "и", "а", "но", перечисление)

 

\/ - слабая дизъюнкция (союз "или")

_•

\/ - строгая дизъюнкция (союз "либо - либо")

 

→ - импликация (союзы, вводные слова, "если, то", "значит", "следовательно", "потому что", "тогда, когда", "поскольку, постольку" и т.д.).

Импликация указывает на причинно-следственную связь между простыми суждениями в составе сложного и между суждениями вообще.

Причина называется антецедентом импликации, а следствие – консеквентом.

↔ - эквиваленция (союзы "тогда и только тогда, когда", "если и только если, то"). Это однозначная причинно-следственная связь.

Эквиваленцию еще называют равносильностью.

Ā – логическое отрицание (неверно, что А; не – А).

↓ - стрелка Пирса (обозначает конъюнкцию двух отрицаний)

| - штрих Шеффера (обозначает дизъюнкцию двух отрицаний).

 

9.2 Понятие формализации суждения

При решении задач со сложными суждениями необходимо научиться формализовать тексты. Для этого необходимо:

1. Выделить в качестве элементов простые суждения и обозначить их переменными.

2. Расставить между переменными логические связки, соответствующие союзам, и записать в виде формулы.

Примеры:

_{а в}

1.( Жарко), и (идет дождь). (а /\ в)

_{ā в}

2. (Дождь не идет), но (жарко). (ā /\ в)

_{а в}

3. (Подальше положишь), (поближе возьмешь). (а → в)

_{а в а в}

4. Если (лает), то (кусает).( Лает). Следовательно,( кусает).

((а → в) /\ а) → в

 

9.3. Таблица истинности

 

Для определения истинности или ложности сложных суждений необходимо пользоваться таблицей истинности.

 

а	в	ā	а /\ в	а \/ в	• а \/ в	а → в	а ↔ в
И И Л Л	И Л И Л	Л Л И И	И Л Л Л	И И И Л	Л И И Л	И Л И И	И Л Л И

 

1. Количество строк в таблице истинности определяется по формуле 2 ⁿ , где n – количество переменных.

2. Количество столбиков равно количеству переменных плюс количество подформул, входящих в исходную формулу.

3. Комбинации "И" и "Л" задаются формулами:

1 столбик (2 ⁿ : 2)

2 столбик ((2 ⁿ : 2) : 2)

3 столбик : и т.д.

последний столбик всегда содержит чередование "И" и "Л".

При формализации текстов могут получиться разного рода формулы:

1. Тождественно - истинная формула получается при условии, если при всех любых значениях входящих в нее переменных, она получает значение "И".

2. Тождественно – ложная формула, - если при всех любых значениях входящих в нее переменных, она получает значение "Л".

3. Логически – нейтральная – это не тождественно – истинная и не тождественно – ложная формула, т.е. в результате есть "И" и "Л".

4. Тождественно – истинные и тождественно – ложные формулы называются выполнимыми.

5. Формулы называются равносильными, если при каждой определенной комбинации "И" и "Л" значений входящих в них переменных значения формул совпадают.

 

Пример. Если слово ставится в начале предложения, то оно пишется с большой буквы. Неверно, что слово ставится в начале предложения и при этом не пишется с большой буквы.

Задание: установить, являются ли данные суждения равносильными?

 

1. Формализуем текст.

_{_ _}

(а → в) ↔ (а /\ в)

 

2. Составляем таблицу истинности.

 

а	в	_ в	(а → в)	_ (а /\ в)	_ (а /\ в)
И И Л Л	И Л И Л	Л И Л И	И Л И И	Л И Л Л	И Л И И

 

3. Сравниваем четвертый и шестой столбик построчно: I строка – "И" – "И", II строка – "Л" – "Л", III строка – "И" – "И", IV строка – "И" – "И".

1. Делаем вывод: Формула логически нейтральна, выполнима. Суждения равносильны.

 

9.4.Метод доказательства «от противного».

 

Если в тексте для формализации и доказательства более чем две или три переменные, то часто применяют более эффективный метод доказательства – "от противного".

Возьмем текст.

"Наполеон либо укреплял свою власть, либо заботился об интересах государства. Известно, что Наполеон заботился об интересах государства. Следовательно, он не укреплял свою власть".

1. Формализуем текст:

((а \/ в) /\ в) → ā

 

Метод доказательства "от противного" заключается в предположении "ложности" всей формулы.

_•((а \/ в) /\ в) → ā - "Л"

 

2. Ключевой знак в формуле – импликация, это значит, что

 

((а \/ в) /\ в) → ā - должна быть – "И", а (ā) – "Л" – по таблице истинности.

3. Если (ā) – "Л", значит (а) – "И".

4. Рассмотрим антецедент импликации. Здесь ключевой знак – конъюнкция, состоящая из двух конъюнктов.

5. По таблице истинности (а \/ в) и (в) должны принимать истинное значение.

6. Последняя подформула - (а \/ в) – "И" при условии, что одна из переменных принимает значение "И", а другая – "Л".

 

Мы знаем, что "а" – "И" и "в" – "И", следовательно (а \/ в) – "Л".

7. Итак, возникло противоречие. Нужно было получить "И", а мы получили "Л", следовательно наше предположение о ложности неверно, а формула истина.

Попробуем проверить правильность решения табличным методом.

 

а	в	ā	• (а \/ в)	• (а \/ в) /\ в	• ((а \/ в) /\ в) → ā
И И Л Л	И Л И Л	Л Л И И	Л И И Л	Л Л И Л	И И И И

Итак, у нас получились все истинные значения. Это значит, что формула тождественно – истинна, суждение верно.

9.5. Проблема разрешимости. Нормальные формы.

В логике существует эффективная процедура, позволяющая определить, является ли некая формула тождественно-истинной, тождественно-ложной или нейтральной. Эта задача носит название проблемы разрешимости.

Для формул языка логики высказываний в качестве такой эффективной разрешающей процедуры можно использовать построение таблицы истинности. Но при большом количестве переменных построение таблицы затруднительно и не рационально. Например, если формула содержит десять переменных, то таблица будет содержать 2¹⁰ = 1024 строки.

Метод приведения формулы к нормальной форме и дальнейшие преобразования (подстановка, КНФ, ДНФ) позволяют рационально определить, к какому классу принадлежит формула.

Рассмотрим подробнее эту процедуру.

Формула имеет нормальную форму, если в качестве связок в ней присутствуют только конъюнкции или дизъюнкции, а отрицания относятся только к переменным.

Для приведения формулы к нормальной форме необходимо пользоваться основными логическими равносильностями:

 

1. А ≡ А

=

2. А ≡ А –закон двойного отрицания

 

3. (А /\ В) ≡ (В /\ А) - закон коммуникативности/

 

4. (А\/ В) ≡ (В \/ А) – закон коммуникативности

 

5. (А /\ (В /\ С)) ≡ (( А /\ В) /\ С) – закон ассоциативности

 

6. (А \/ (В \/ С)) ≡ ((А \/ В) \/ С) – закон ассоциативности

 

7. (А /\ (В \/ С)) ≡ ((А /\ В) \/ (А /\С)) – закон дистрибутивности

 

8. (А \/ (В /\ С)) ≡ ((А \/ В) /\ (А \/ С)) – закон дистрибутивности

 

9. (А /\ А) ≡А - закон идемпотентности

 

10. (А \/ А) ≡ А – закон идемпотентности

____ _ _

11. (А /\ В) ≡ (А \/ В) – закон де Моргана

_____ _ _

12. (А \/ В) ≡ (А /\ В) – закон де Моргана

_____

13. (А → В) ≡ (А /\ В)

_

14. (А → В) ≡ (А \/ В)

____

15. (А /\ В) ≡ (А → В)

_ _

16. (А /\ В) ≡ (А \/ В)

_ _

17. (А \/ В) ≡ (А /\ В)

 

18. (А \/ (А /\ В)) ≡ А -закон поглощения

 

19. (А /\ (А \/ В)) ≡ А -закон поглощения

 

20. (А ↔ В) ≡ ((А → В) /\ (В → А))

_ _

21. (А ↔ В) ≡ ((А \/ В) /\ (В \/ А))

____

22. (А ↔ В) ≡ (А \/ В)

_ _

23. (А \/ В) ≡ ((А \/ В) /\ (А \/ В))

_ _

24. (А → В) ≡ (В → А)

_ _

25. (А ↔ В) ≡ ((А → В) /\ (А → В))

 

26. (А /\ И) ≡ А

 

27. (А /\ Л) ≡ Л

 

28. (А \/ И) ≡ И

 

29. (А \/ Л) ≡ А

_ _

30. (А ↓ В) ≡ (А /\ В) ↓ - стрелка Пирса

_ _

31. (А | В) ≡ (А \/ В) | - штрих Шеффера

 

Алгоритм разрешения суждений с помощью нормальной формы и подстановок.

 

1.Формализовать текст.

2. Привести формулу к нормальной форме алгебраическими преобразованиями с помощью равносильностей «14», «21», «23».

1. При помощи равносильностей «11» и «12» уменьшить область действия знака отрицания. Он должен находиться только при переменных.

2. Выявить нерегулярные переменные (то есть те, которые в формуле либо с отрицанием, либо только без него).

3. Подставить вместо нерегулярной переменной значение «ложь» и с помощью равносильностей «26», «27», «28» и «29» сократить формулу. Повторять операцию до тех пор, пока все нерегулярные переменные не исчезнут.

4. Вместо одной из регулярных переменных подставить вначале значение «ложь» и сократить формулу, затем – «истину» и также сократить формулу.

5. Если все конечные значения формулы истинны, то формула является логическим законом.

6. Если хотя бы одно конечное значение формулы получилось ложное, то формула не является истинной, исходное рассуждение опровергнуто, а дальнейший анализ формулы не имеет смысла.