Основные законы гидростатики

В отличие от твердых тел в жидкостях и газах связь меж- ду молекулами слабее. Они обладают свойством текучести – не сохраняют свою форму, а приобретают форму сосуда, во- доема и т.д. Эта особенность текучих веществ описывается законами гидростатики и гидродинамики. Законы гидроста-

тики (Паскаля2 и Архимеда) описывают передаваемое давле-

ние в жидкостях и газах.

Закон Паскаля:внешнее давление, приложенное к жид- кости или газу, находящемуся в ограниченном объеме, пере- дается во все стороны одинаково. В качестве примера дейст- вия закона Паскаля приведем опыт с шаром Паскаля. В нем сделано множество отверстий, которые соединены с цилин- дрическим сосудом (рис.1.9). Если налить в сосуд воду и двинуть поршень, вода брызнет из всех отверстий. Это как раз и означает, что вода передает внешнее давление по всем направлениям. То же наблюдается и для газа: если сосуд на- полнить дымом, то при движении поршня струйки дыма пойдут из всех отверстий сразу. Стало быть, газ также пере- дает давление по всем направлениям.

2 Открытие закона приписывается французскому философу и ученому-естествоиспытателю Блезу Паскалю (1623–1662).

Рис.1.9. Иллюстрация к закону Паскаля

Закон Паскаля широко применяется на практике, напри- мер, в работе гидравлического пресса, тормозных систем ав- томобиля.

Закон Архимеда:на погруженное в жидкость или газ те- ло действует выталкивающая сила, равная весу жидкости или газа, вытесненного телом, направленная против силы тяже- сти. Мы знаем, что дерево в воде не тонет. Следовательно, сила тяжести уравновешивается какой-то другой силой, дей- ствующей на кусок дерева со стороны воды. Эта сила назы- вается выталкивающей или силой Архимеда. Она действует на всякое тело, погруженное в жидкость или газ. Мы сами, находясь в морской воде, не тонем, а в пресной воде чувст- вуем, что становимся тяжелее.

Рис.1.10. Выталкивающая сила Архимеда, действующая на тело, погруженное в жидкость или газ

Природа выталкивающей силы заключается в следую- щем. Тело площадью основания S, высотой h помещено в жидкость плотностью ρ. Верхнее основание находится на глубине h1, нижнее – на глубине h2 = h1+ h (рис.1.10). На соответственно верхнее и нижнее основания тела столб жидкости высотой h1 и h2 = h + h1 оказывает разное дав- ление:

P1= ρgh1, P2= ρgh2. (1.4.6)

Так как на основания тела действуют разные силы:

F1 = P1S , F2 = P2S , (1.4.7)

Возникает результирующая сила, действующая тело, кото- рую называют выталкивающей силой или силой Архимеда:

FА= F2— F1= qgh2S — qgh1S = qgS(h2— h1) = qgSh,

или

FА= qgV.

Если плотность тела меньше плотности жидкости: ρт ≤ ρ, те- ло плавает, если больше: ρт > ρ, – тонет.

Уравнение неразрывности является следствием закона сохранения массы.При стационарном течении количество жидкости, втекающей в единицу времени в трубку тока через сечение S1, равно количеству жидкости, вытекающей через сечение S2(рис.1.11). Масса жидкости, протекающая за вре- мя ∆t через поперечное сечение трубки, определяется выра- жением

∆m = qrS∆t. (1.4.8)

В случае стационарного течения масса ∆m будет одной и той же для всех сечений трубки тока. Если взять два сечения, площади которых равны S1и S2, можно написать:

q1r1S1= q2r2S2. (1.4.9)

Рис. 1.11. Течение жидкости через разные сечения трубы

Если бы это равенство не соблюдалось, масса жидкости между сечениями S1и S2изменялась бы во времени. А это противоречит закону сохранения массы и предположению о стационарности течения. Если жидкость несжимаема, то q1= q2, и последнее соотношение принимает вид

r1S1= r2S2. (1.4.10)

Это соотношение называется уравнением неразрывности. Его физический смысл заключается в том, что жидкость ни- где не накапливается, т.е. за одинаковый временной интервал в трубку тока втекает и вытекает равное количество жидко- сти. Скорость жидкости в одной и той же трубке тока больше там, где меньше площадь поперечного сечения трубки.

Уравнение Бернулли3. Это уравнение, по сути, пред-

ставляет собой закон сохранения механической энергии для жидкости.

Подъем жидкости на некоторую высоту тоже требует на- личия разности давлений на концах трубы или вода должна обладать начальной скоростью, например, при выкачивании воды из колодца с помощью насоса, который и задает ей на- чальную скорость. На рис.1.12 представлено перемещение жидкости с одного уровня на другой под действием разности давлений на концах трубы. Такое перемещение жидкости в трубе описывается уравнением Бернулли.

Вывести уравнение Бернулли можно из закона сохране- ния механической энергии при наличии внешних сил:

Ämv2

+ Ämgh + A

Ämv2

+ Ämgh

+ A , (1.4.11)

2 1 1 2 2 2

здесь A1и A2– работа внешних сил.

Учитывая, что

Δm = ρV = liSi, Ai= Fili= PiSili= PiV, (1.4.12) за время t через сечения S1 и S2 проходит одинаковый объем жидкости V. Отсюда

ρv2

+ρgh +P =

ρv2

2 +ρgh +P . (1.4.13)

2 1 1 2 2 2

При этом скорости v1 и v2 связаны уравнением неразрывно- сти (1.4.10).

3 Даниил Бернулли (1700–1782) – швейцарский физик, работав- ший в Петербургской академии наук, открыл закон в первой поло- вине XVIII в.

Рис.1.12. К выводу уравнения Бернулли

Уравнение Бернулли формулируется так: при стационар- ном течении жидкости в тех местах, где скорость течения меньше, давление жидкости больше и, наоборот, – где ско- рость течения больше, давление жидкости меньше. Оно име- ет общий вид:

qr2+ qgh +P = const. (1.4.14)

В окружающей нас жизни закон Бернулли имеет множе- ство примеров. Уравнение Бернулли лежит в основе дейст- вия карбюратора. Поток воздуха, движущийся сквозь узкую трубку, создает пониженное давление над трубкой с бензи- ном. Это приводит к тому, что бензин вытягивается из бака и, подхваченный потоком воздуха, распыляется. Крыло са- молета рассчитывается таким образом, что скорость течения воздуха над крылом выше, чем под ним. Поэтому, в соответ- ствии с законом Бернулли, давление над крылом ниже, чем под ним. Это приводит к возникновению подъемной силы. Таким образом, подъем летающих аппаратов (самолетов, вертолетов) основан на действии закона Бернулли.

Вязкость жидкости.Скорость течения жидкости или га- за неравномерна. Это обусловлено видом трения, которое называют внутренним трением или вязкостью. Например, в реке или ручье, чем ближе к берегам, тем медленнее движут- ся слои воды, чем ближе к центру, тем быстрее. Вязкость возникает из-за внутреннего трения между молекулами жид- кости. Оно обусловливает возникновение различия скоро- стей движения частиц в потоке жидкости. Количественным выражением вязкости является коэффициент вязкости h, который определяется по формуле

F L

h = вязк.тр . (1.4.15)

где Fвязк.тр– сила, необходимая для перемещения одного слоя жидкости относительно другого; S – площадь перемещаемо- го слоя жидкости, V – скорость перемещения одного слоя жидкости относительно другого, L – ширина слоя.

Сила вязкого трения Fвязк.трпропорциональна площади соприкасающихся слоев жидкости S и производной скорости (рис.1.14) по направлению вдоль оси Y от слоя к слою dV4:

Fвязк.тр

= h S dV

. (1.4.16)

Полученная формула называется уравнением Ньютона, где

5 – коэффициент вязкости жидкости. Единицей измерения вязкости является [η] = Н · с/м2= Па · с.

В результате, скорости разных слоев жидкости оказыва- ются не одинаковыми. Градиент скорости слоев жидкости показан на рис.1.13.

Величина вязкости зависит от природы жидкости и ее температуры. Вязкость жидкостей уменьшается с увеличени- ем температуры и наоборот. С целью уменьшения вероятно- сти образования тромбов в крови используются препараты, уменьшающие вязкость крови.

Рис. 1.13. Распределение скорости движущейся жидкости, например, в реке

4 Производная скорости по направлению вдоль оси Y называют градиентом скорости: gradVº dV.

Формула Пуазейля.Она была получена французским ученым Ж.Л. Пуазейлем5, который исследовал течение крови в кровеносных сосудах. Для потока несжимаемой жидкости в случае ламинарного течения (слои жидкости текут парал- лельно друг другу, без перемешивания) в цилиндрической

трубе им получено выражение

Q= p R

(P1 - P2 ) , (1.4.17)

8hL

где R – внутренний радиус трубы, L – длина трубы, P1и P2–

давление на концах трубы, h – вязкость жидкости.

Формула Пуазейля утверждает: поток жидкости текущей по трубе, пропорционален разности давлений действующих на нее с противоположных концов, четвертой степени радиу- са трубы и обратно пропорционален ее длине и вязкости жидкости.

Формула Пуазейля используется при моделировании кровотока. С ее помощью можно объяснить, например, воз- растание артериального давления. Для сохранения объема перемещаемой крови уменьшение радиуса кровеносных со- судов компенсируется возрастанием давления крови. Заку- порка с возрастом большого количества капилляров или су- жение крупных сосудов, по-видимому, является одной из причин возрастания давления крови.

Уменьшение радиуса сосудов в 2 раза приводит к увели- чению давления в них в 16 раз!

С помощью формулы Пуазейля можно также объяснить течение воды в русле реки переменной ширины, рассчитать движение жидкости в трубах водопроводов, движение жид- костей, например, нефтепродуктов на предприятиях и т.д.

5 Французский врач и физиолог занимался исследованием крово- обращения и дыхания. С этой целью он занимался вопросами гид- родинамики.