ВВЕДЕНИЕ

Сложные вычислительные задачи, возникающие при моделировании технических и экономических процессов, требуют применения вычислительной техники и разработки численных методов решения. Для решения задач, которые не могут быть решены аналитически, разработаны алгоритмы, дающие приближённое решение. Часто приходиться встречаться с необходимостью решения систем линейных алгебраических уравнений высокого порядка, с задачей отыскания корней алгебраических уравнений высоких степеней и корней трансцендентных уравнений, с решением дифференциальных уравнений, которые не интегрируются в элементарных функциях, и т.д.. Задачи такого рода требуют мощных вычислительных методов и мощных компьютеров. Основным методом, при помощи которого в вычислительной математике решаются поставленные задачи, является замена исходных пространств, пространствами более удобными для вычислительных целей. В результате решения приближенной задачи получается решение близкое в каком-то смысле к точному решению приближенной задачи. При наличии численных методов решения необходим сравнительный анализ различных методов решения рассматриваемой задачи их точности и возможности их реализации на том или ином компьютере.

Универсальные методы вычислений всегда не учитывают свойства каждой отдельной задачи и, поэтому имеют невысокую точность и медленную сходимость к точным значениям. Специализированные методы обладают, в этом смысле преимуществом перед универсальными методами и позволяют получать большую точность с меньшими затратами.

В методическом пособии изложены основные правила действий с приближёнными величинами, оценкой их точности; численные методы решения алгебраических уравнений и трансцендентных уравнений; приближённое представление функций (аппроксимация); численное дифференцирование и интегрирование и численные методы оптимизации. Все рассмотренные методы снабжены примерами. Численные методы применимы не во всех случаях и поэтому необходимо научиться правильно использовать в работе все математические методы.

Глава 1. Элементарная теория погрешностей