Оценка тесноты нелинейной связи между переменными

Для оценки тесноты взаимосвязи результативного признака с фактором в случае нелинейной парной регрессии анализируются следующие дисперсии:

1) общая дисперсия результативного признака , отражающая влияние на как основного фактора , так и неучтенных случайных факторов: , где – выборочное среднее значение результативного признака по выборке ;

2) факторная дисперсия результативного признака , отражающая влияние на только основного фактора : , где , , – значения результативного признака , полученные по уравнению регрессии;

3) остаточная дисперсия результативного признака , отражающая влияние на неучтенных факторов и характеризующая меру разброса зависимой переменной возле линии регрессии: ,

где .

В соответствии с теоремой о разложении дисперсии справедливо равенство .

Отсюда следует, что чем меньше в формуле величина , тем меньше точки наблюдений рассеяны относительно линии регрессии, а значит, тем теснее взаимосвязь результативного признака и основного фактора .

Поэтому теснота взаимосвязи результативного признака с фактором в случае парной нелинейной регрессии оценивается с помощью индекса корреляции :

 

.

 

Величина данного показателя удовлетворяет соотношению . Чем ближе к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков.

В случае линейной регрессии справедливо равенство . Отметим, что для нелинейной регрессии линейный коэффициент корреляции дает лишь приближенную оценку связи и в общем случае не совпадает с индексом корреляции .

Для относительной (в процентах) характеристики силы связи фактора с результативным признаком может быть использован коэффициент эластичности. При этом различают обобщающие (средние) и точечные коэффициенты эластичности.

Средний коэффициент эластичности на основании вида уравнения парной регрессии позволяет определить, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результирующий признак y при изменении фактора x на 1% от своего среднего значения . В случае линейной парной регрессии .

В эконометрических исследованиях широкое применение получила степенная регрессия . Во многом это связано с тем, что коэффициент в ней имеет четкую экономическую интерпретацию – он совпадает с коэффициентом эластичности.

Точечный коэффициент эластичности рассчитывается для конкретного значения и показывает, на сколько процентов изменится относительно уровня при изменении на 1% от уровня . Формула расчета имеет вид .