Свойства векторного произведения

1°. Векторное произведение есть , если хотя бы один из векторов или ― нулевой или //.

Доказано, а) если или , то согласно (1') . б) Если , то .

2°. Любая ― сочетательность.

3°. ― распределительность.

Теорема 99. если в прямоугольной декартовой системе координат заданы векторы и , то вектор будет задан следующими координатами:

.

 

Доказательство.

1. Рассмотрим векторные произведения векторов : а) т.к., например, ; б) , т.к. , причем тройка должны быть ориентированы также как (например лево) т.к. так и есть , доказано ориентировано право. Левая тройка аналогично. Кроме того, ; ; .

2. Согласно условию теоремы

 

Составляя их векторное произведение, имеем: согласно свойствам 2°, 3°, 4° и соотношениям (2) ― (4)

 

Используя определитель второго порядка: . Т.е. координаты векторного произведения есть определитель второго порядка, полученные из матрицы с помощью вычеркивания столбцов.

14. Геометрический смысл смешанного произведения: если тройка векторов правая, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на этих векторах: . В случае левой тройки смешанное произведение указанных векторов равно объему параллелепипеда со знаком минус: . Если , и компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

Итак, из выше сказанного можно сделать вывод, что объем параллелепипеда, построенного на векторах , и равен модулю смешанного произведения этих векторов:

Объем пирамиды, построенной на этой тройке векторов равен

Свойства смешанного произведения:

3° Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда

4° Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда . Если же , то векторы , и образуют левую тройку векторов.

10° Тождество Якоби:

Если векторы , и заданы своими координатами, то их смешанное произведение вычисляется по формуле

15. Определение. Алгебраической линией второго порядка на плоскости называется линия γ, которая в некоторой аффинной системе координат задана общим уравнением:

,

где коэффициенты .

Для удобства введём обозначения:

, , .

То есть .

Примерами линий второго порядка являются эллипс, гипербола, парабола.

Пусть дана линия γ, заданная в аффинной системе координат общим уравнением (1) и прямая

 

Рассмотрим случаи их взаимного расположения.

Подставим значения и из (6) в (1), получим следующее уравнение: ,

где , , .

Исследуем квадратное уравнение (7). Возможны случаи:

1) . Тогда (7) – квадратное уравнение, дискриминант которого . В зависимости от знака дискриминанта имеем:

а) , тогда (7) имеет два действительных корня, то есть прямая пересекает линию γ в двух действительных точках.

б) , тогда (7) имеет два комплексных сопряжённых корня, то есть прямая l не пересекает линию γ.

в) , тогда (7) имеет два совпадающих действительных корня, то есть прямая пересекает линию γ в двух совпадающих точках.

2) . В этом случае уравнение (7) примет вид:

.

Возможны случаи:

а) , тогда , значит прямая пересекает линию γ в одной точке.

б) , , то точек пересечения прямой и линии γ нет.

в) , , тогда существует бесконечное множество решений уравнения и прямая содержит линию γ.