Свойства векторного произведения
1°. Векторное произведение есть , если хотя бы один из векторов или ― нулевой или //.
Доказано, а) если или , то согласно (1') . б) Если , то .
2°. Любая ― сочетательность.
3°. ― распределительность.
Теорема 99. если в прямоугольной декартовой системе координат заданы векторы и , то вектор будет задан следующими координатами:
.
Доказательство.
1. Рассмотрим векторные произведения векторов : а) т.к., например, ; б) , т.к. , причем тройка должны быть ориентированы также как (например лево) т.к. так и есть , доказано ориентировано право. Левая тройка аналогично. Кроме того, ; ; .
2. Согласно условию теоремы
Составляя их векторное произведение, имеем: согласно свойствам 2°, 3°, 4° и соотношениям (2) ― (4)
Используя определитель второго порядка: . Т.е. координаты векторного произведения есть определитель второго порядка, полученные из матрицы с помощью вычеркивания столбцов.
14. Геометрический смысл смешанного произведения: если тройка векторов правая, то их смешанное произведение равно объему параллелепипеда построенного на этих векторах: . В случае левой тройки смешанное произведение указанных векторов равно объему параллелепипеда со знаком минус: . Если , и компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.
Итак, из выше сказанного можно сделать вывод, что объем параллелепипеда, построенного на векторах , и равен модулю смешанного произведения этих векторов:
Объем пирамиды, построенной на этой тройке векторов равен
Свойства смешанного произведения:
1°
2°
3° Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда
4° Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда . Если же , то векторы , и образуют левую тройку векторов.
5°
6°
7°
8°
9°
10° Тождество Якоби:
Если векторы , и заданы своими координатами, то их смешанное произведение вычисляется по формуле
15. Определение. Алгебраической линией второго порядка на плоскости называется линия γ, которая в некоторой аффинной системе координат задана общим уравнением:
,
где коэффициенты .
Для удобства введём обозначения:
, , .
То есть .
Примерами линий второго порядка являются эллипс, гипербола, парабола.
Пусть дана линия γ, заданная в аффинной системе координат общим уравнением (1) и прямая
Рассмотрим случаи их взаимного расположения.
Подставим значения и из (6) в (1), получим следующее уравнение: ,
где , , .
Исследуем квадратное уравнение (7). Возможны случаи:
1) . Тогда (7) – квадратное уравнение, дискриминант которого . В зависимости от знака дискриминанта имеем:
а) , тогда (7) имеет два действительных корня, то есть прямая пересекает линию γ в двух действительных точках.
б) , тогда (7) имеет два комплексных сопряжённых корня, то есть прямая l не пересекает линию γ.
в) , тогда (7) имеет два совпадающих действительных корня, то есть прямая пересекает линию γ в двух совпадающих точках.
2) . В этом случае уравнение (7) примет вид:
.
Возможны случаи:
а) , тогда , значит прямая пересекает линию γ в одной точке.
б) , , то точек пересечения прямой и линии γ нет.
в) , , тогда существует бесконечное множество решений уравнения и прямая содержит линию γ.