Формула скалярного произведения векторов для плоских задач

В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = {a_x ; a_y} и b = {b_x ; b_y} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a_x · b_x + a_y · b_y

Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач

В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов a = {a_x ; a_y ; a_z} и b = {b_x ; b_y ; b_z} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a_x · b_x + a_y · b_y + a_z · b_z

Формула скалярного произведения n -мерных векторов

В случае n-мерного пространства скалярное произведение векторов a = {a₁ ; a₂ ; ... ; a_n} и b = {b₁ ; b₂ ; ... ; b_n} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a₁ · b₁ + a₂ · b₂ + ... + a_n · b_n

Свойства скалярного произведения векторов

1. Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:

a · a ≥ 0

2. Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:

a · a = 0 <=> a = 0

3. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

a · a = |a|²

4. Операция скалярного умножения коммуникативна:

a · b = b · a

5. Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны:

a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0 <=> a ┴ b

6. (αa) · b = α(a · b)

7. Операция скалярного умножения дистрибутивна:

(a + b) · c = a · c + b · c

 

Примеры задач на вычисление скалярного произведения векторов

Примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач

Пример 1.

Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2} и b = {4; 8}.

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

Пример 2.

Найти скалярное произведение векторов a и b, если их длины |a| = 3, |b| = 6, а угол между векторами равен 60˚.

Решение: a · b = |a| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.

Пример 3.

Найти скалярное произведение векторов p = a + 3b и q = 5a - 3 b, если их длины |a| = 3, |b| = 2, а угол между векторами a и b равен 60˚.

Решение:

p · q = (a + 3b) · (5a - 3b) = 5 a · a - 3 a · b + 15 b · a - 9 b · b =

= 5 |a|² + 12 a · b - 9 |b|² = 5 · 3² + 12 · 3 · 2 · cos 60˚ - 9 · 2² = 45 +36 -36 = 45.

Пример вычисления скалярного произведения векторов для пространственных задач

Пример 4.

Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2; -5} и b = {4; 8; 1}.

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 - 5 = 15.

Пример вычисления скалярного произведения для n -мерных векторов

Пример 5.

Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2; -5; 2} и b = {4; 8; 1; -2}.

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.

13. Векторным произведением векторов и вектора называется третий вектор , определяемый следующим образом:

1) , (1')

2) перпендикулярно , перпендикулярно . (1'')

3) векторы ориентированы также, как и базис всего пространства (положительно или отрицательно).

Обозначают: .

Физический смысл векторного произведения

 

― момент силы относительно точки О; ― радиус ― вектор точки приложения силы , тогда

,

причем, если перенести в точку О, то тройка , , должна быть ориентирована как вектора базиса.