Мощность, выделяемая в цепи переменного тока

Мгновенное значение мощности переменного тока равно произведению мгновенных значений напряжения и силы тока:

где , (см. выражения (149.1) и (149.11)). Раскрыв , получим

Практический интерес представляет не мгновенное значение мощности, а ее среднее значение за период колебания. Учитывая, что , , получим

(152.1)

Из векторной диаграммы (см. рис. 216) следует, что . Поэтому

Такую же мощность развивает постоянный ток I = I_m/ .

Величины

называются соответственно действующими (или эффективными) значениями тока и напряжения. Все амперметры и вольтметры градуируются по действующим значениям тока и напряжения.

Учитывая действующие значения тока и напряжения, выражение средней мощности (152.1) можно записать в виде

(152.2)

где множитель cos называется коэффициентом мощности.

Формула (152.2) показывает, что мощность, выделяемая в цепи переменного тока, в общем случае зависит не только от силы тока и напряжения, но и от сдвига фаз между ними. Если в цепи реактивное сопротивление отсутствует, то cos = 1 и Р = IU. Если цепь содержит только реактивное сопротивление (R = 0), то cos = 0 и средняя мощность равна нулю, какими бы большими ни были ток и напряжение. Если cos имеет значения, существенно меньшие единицы, то для передачи заданной мощности при данном напряжении генератора нужно увеличивать силу тока I, что приведет либо к выделению джоулевой теплоты, либо потребует увеличения сечения проводов, что повышает стоимость линий электропередачи. Поэтому на практике всегда стремятся увеличить cos , наименьшее допустимое значение которого для промышленных установок составляет примерно 0,85.

Контрольные вопросы

· Что такое колебания? свободные колебания? гармонические колебания? периодические процессы?

· Дайте определения амплитуды, фазы, периода, частоты, циклической частоты колебания.

· Какова связь амплитуды и фазы смещения, скорости и ускорения при прямолинейных гармонических колебаниях?

· В чем заключается идея метода вращающегося вектора амплитуды?

· Выведите формулы для скорости и ускорения гармонически колеблющейся точки как функции времени.

· Выведите и прокомментируйте формулы для кинетической, потенциальной и полной энергии при гармонических колебаниях.

· Чему равно отношение полной энергии гармонического колебания к максимальному значению возвращающей силы, вызывающей это колебание?

· Как можно сравнить между собой массы тела, измеряя частоты колебаний при подвешивании этих масс к пружине?

· Что называется гармоническим осциллятором? пружинным маятником? физическим? математическим?

· Выведите формулы для периодов колебаний пружинного, физического и математического маятников.

· Что такое приведенная длина физического маятника?

· Какие процессы происходят при свободных гармонических колебаниях в колебательном контуре? Чем определяется их период?

· Запишите и проанализируйте дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний в контуре.

· Что такое биения? Чему равна частота биений? период?

· Какова траектория точки, участвующей одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях с одинаковыми периодами? Когда получается окружность? прямая?

· Как по виду фигур Лиссажу можно определить отношение частот складываемых колебаний?

· Запишите дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Проанализируйте их для механических и электромагнитных колебаний.

· Как изменяется частота собственных колебаний с увеличением массы колеблющегося тела?

· По какому закону изменяется амплитуда затухающих колебаний? Являются ли затухающие колебания периодическими?

· Почему частота затухающих колебаний должна быть меньше частоты собственных колебаний системы?

· Что такое коэффициент затухания? декремент затухания? логарифмический декремент затухания? В чем заключается физический смысл этих величин?

· При каких условиях наблюдается апериодическое движение?

· Что такое автоколебания? В чем их отличие от вынужденных и свободных незатухающих колебаний? Где они применяются?

· Что такое вынужденные колебания? Запишите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и решите его. Проведите их анализ для механических и электромагнитных колебаний.

· От чего зависит амплитуда вынужденных колебаний? Запишите выражение для амплитуды и фазы при резонансе.

· Нарисуйте, проанализируйте резонансные кривые для амплитуды смещения (заряда) и скорости (тока). В чем их отличие?

· Почему добротность является важнейшей характеристикой резонансных свойств системы?

· Чему равен сдвиг фаз между смещением и вынуждающей силой при резонансе?

· Что называется резонансом? Какова его роль?

· От чего зависит индуктивное сопротивление? емкостное сопротивление? Что называется реактивным сопротивлением?

· Как сдвинуты по фазе колебания переменного напряжения и переменного тока текущего через конденсатор? катушку индуктивности? резистор? Ответ обосновать также с помощью векторных диаграмм.

· Нарисуйте и объясните векторную диаграмму для цепи переменного тока с последовательно включенными резистором, катушкой индуктивности и конденсатором.

· Назовите характерные признаки резонанса напряжений; резонанса токов. Приведите графики резонанса токов и напряжений.

· Как вычислить мощность, выделяемую в цепи переменного тока? Что называется коэффициентом мощности?

 

Задачи

18.1. Материальная точка, совершающая гармонические колебания с частотой = 2 Гц, в момент времени t = 0 проходит положение, определяемое координатой x_о = 6 см, со скоростью v_o = 14 см/с. Определить амплитуду колебаний. [6,1 см]

18.2. Полная энергия гармонически колеблющейся точки равна 30 мкДж, а максимальная сила, действующая на точку, равна 1,5 мН. Написать уравнение движения этой точки, если период колебаний равен 2 с, а начальная фаза /3. [х = 0,04 cos ( t + /3)]

18.3. При подвешивании грузов массами m₁ = 500 г и m₂ = 400 г к свободным пружинам последние удлинились одинаково (l = 15 см). Пренебрегая массой пружин, определить: 1) периоды колебаний грузов; 2) который из грузов при одинаковых амплитудах обладает большей энергией и во сколько раз. [1) 0,78 с; 2) 1,25]

18.4. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной 25 см. Определить, на каком расстоянии от центра масс должна быть точка подвеса, чтобы частота колебаний была максимальной. [7,2 см]

18.5. Два математических маятника, длины которых отличаются на = 16 см, совершают за одно и то же время: один n₁ = 10 колебаний, другой n₂ = 6 колебаний. Определить длины маятников l₁ и l₂. [l₁ = 9 см, l₂ = 25 см]

18.6 Колебательный контур содержит катушку с общим числом витков, равным 50, индуктивностью 5 мкГн и конденсатор емкостью 2нФ. Максимальное напряжение на обкладках конденсатора составляет 150 В. Определить максимальный магнитный поток, пронизывающий катушку. [0,3 мкВб]

18.7. Разность фаз двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода 8 с и одинаковой амплитудой 2 см составляет /4. Написать уравнение движения, получающегося в результате сложения этих колебаний, если начальная фаза одного из них равна нулю. [x = 0,037 cos ]

18.8. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями x = cos и y = cos . Определить уравнение траектории точки и вычертить ее с нанесением масштаба [2y² – х = 1]

18.9. За время, за которое система совершает 100 полных колебаний, амплитуда уменьшается в три раза. Определить добротность системы. [286]

18.10. Колебательный контур содержит катушку индуктивностью 25 мГн, конденсатор емкостью 10 мкФ и резистор сопротивлением 1 Ом. Конденсатор заряжен количеством электричества Q_m = 1 мКл. Определить: 1) период колебаний контура; 2) логарифмический декремент затухания колебаний; 3) уравнение зависимости изменения напряжения на обкладках конденсатора от времени. [1) 3,14 мс; 2) 0,05; 3) ]

18.11. Последовательно соединенные резистор с сопротивлением 110 Ом и конденсатор подключены к внешнему переменному напряжению с амплитудным значением 110 В. Оказалось, что амплитудное значение установившегося тока в цепи 0,5 А. Определить разность фаз между током и внешним напряжением. [60°]

18.12. В цепь переменного тока частотой 50 Гц включена катушка длиной 50 см и площадью поперечного сечения 10 см², содержащая 3000 витков. Определить активное сопротивление катушки, если сдвиг фаз между напряжением и током составляет 60°. [4,1 Ом]

18.13. Генератор, частота которого составляет 32 кГц и амплитудное значение напряжения равно 120 В, включен в резонирующую цепь, емкость которой 1 нФ. Определить амплитудное значение напряжения на конденсаторе, если активное сопротивление цепи 5 Ом. [119 кВ]

18.14. Колебательный контур содержит катушку индуктивностью 5 мГн и конденсатор емкостью 2 мкФ. Для поддержания в колебательном контур незатухающих гармонических колебаний с амплитудным значением напряжения на конденсаторе 1 В необходимо подводить среднюю мощность 0,1 мВт. Считая затухание колебаний в контуре достаточно малым, определить добротность данного контура. [100]