Работа в поле тяготения. Потенциал поля тяготения

Рассмотрим, чему равна работа, совершаемая силами поля тяготения при перемещении в нем материальной точки массой т. Вычислим, например, какую надо затратить работу для удаления тела массой т от Земли. На расстоянии R (рис.39) на данное тело действует сила

F = GmM/R².

При перемещении этого тела на расстояние dR затрачивается работа

(25.1)

Знак минус появляется потому, что сила и перемещение в данном случае противоположны по направлению (рис.39).

Земля

Рис. 39

Если тело перемещать с расстояния до , то затрачивается работа

(25.2)

Из формулы (25.2) вытекает, что затраченная работа в поле тяготения не зависит от траектории перемещения, а определяется лишь начальным и конечным положениями тела, т. е. силы тяготения действительно консервативны, а поле тяготения является потенциальным (см. § 12).

Согласно формуле (12.2), работа, совершаемая консервативными силами, равна изменению потенциальной энергии системы, взятому со знаком минус, т. е.

Из формулы (25.2) получаем

(25.3)

Так как в формулы входит только разность потенциальных энергий в двух состояниях, то для удобства принимают потенциальную энергию при равной нулю ( ). Тогда (25.3) запишется в виде . А так как первая точка была выбрана произвольно, то можно записать

.

Величину

являющуюся энергетической характеристикой поля тяготения, называют потенциалом.Потенциал поля тяготения — скалярная величина, определяемая потенциальной энергией тела единичной массы в данной точке поля или работой по перемещению единичной массы из данной точки поля в бесконечность. Таким образом, потенциал поля тяготения, создаваемого телом массой М, равен

(25.4)

где R — расстояние от этого тела до рассматриваемой точки.

Из формулы (25.4) вытекает, что геометрическое место точек с одинаковым потенциалом образует сферическую поверхность (R=const). Такие поверхности, для которых потенциал постоянен, называютсяэквипотенциальными.

Рассмотрим взаимосвязь между потенциалом поля тяготения ( ) и его напряженностью (g). Из выражений (25.1) и (25.4) следует, что элементарная работа dA, совершаемая силами поля при малом перемещении тела массой т, равна

.

С другой стороны, ( — элементарное перемещение). Учитывая (24.1), получим, что

или

Величина характеризует изменение потенциала на единицу длины в направлении перемещения в поле тяготения. Можно показать, что

(25.5)

где - градиент скаляра (см. (12.5)). Знак минус в формуле (25.5) указывает, что вектор напряженности g направлен е сторону убывания потенциала.

В качестве частного примера, исходя из представлений теории тяготения, рассмотрим потенциальную энергию тела, находящегося на высоте h относительно Земли:

где R₀ — радиус Земли.

Так как

(25.6)

то, учитывая условие h << R_o, получим

Таким образом, мы вывели формулу, совпадающую с (12.7), которая постулировалась раньше.