Метод простой итерации ( метод Якоби)

 

Пусть система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) задана в виде

(5)

 

Предположим, что диагональные элементы исходной системы не равны нулю (a_ii ≠ 0, i = 1, 2, …, n). Разрешим первое уравнение системы относительно x₁, второе относительно x₂ и т.д. Получим следующую эквивалентную систему:

(6)

В системе (6) -ое уравнение представляет собой -ое уравнение системы (6), разрешённое относительно –ой неизвестной ( ).

Теперь, задав нулевое приближение , по соотношениям (5) можем выполнять итерационный процесс. Таким образом, рабочие формулы метода простой итерации решения системы (5) будут иметь вид

(7)

Формулы (2.3) можно записать в виде

(8)

Условие окончания итерационного процесса

, .

Достаточное условие сходимости.Если выполнено условие диагонального преобладания, то есть

то итерационный процесс (3) сходится при любом выборе начального приближения. Если исходная система уравнений не удовлетворяет условию сходимости, то ее приводят к виду с диагональным преобладанием.

Замечание. Указанное выше условие сходимости является достаточным, т.е. если оно выполняется, то процесс сходится. Однако процесс может сходиться и при отсутствии диагонального преобладания, но может и не сойтись.

Выбор начального приближения. Компонентами нулевого приближения могут быть любые числа. Наиболее часто в качестве начального приближения берут либо свободные члены системы (5) либо нули .

Выбор начального приближения влияет на количество итераций, необходимых для получения решения с требуемой точностью.

3. Решение системы линейных алгебраических уравнений в MathCAD

Решить СЛАУ можно следующими способами:

1. С помощью вычислительного блока Given/Find.

2. С помощью функции lsolve.

3. С помощью обратной матрицы.

 

Для первого способа следует использовать вычислительный блок Given/Find, состоящий из трех последовательных частей:

– Given – ключевое слово;

– система, записанная логическими операторами в виде равенств;

– Find(x₁, … ,x_n) – встроенная функция для решения системы относительно переменных x₁, … , x_n.

Перед вызовом вычислительного блока всем неизвестным присвоены начальные значения. Они могут быть произвольными, т.к. решение СЛАУ с невырожденной матрицей единственно.

Для решения системы уравнений необходимо выполнить следующее:

-Задать начальное приближение для всех неизвестных, входящих в систему уравнений.

- Напечатать ключевое слово Given. Оно указывает Mathcad, что далее следует система уравнений.

- Ввести уравнения в любом порядке. Используйте [Ctrl]= для печати символа =.

- Ввести любое выражение, которое включает функцию Find, например: а:= Find(х, у).

Find(z1, z2, . . .)

Возвращает точное решение системы уравнений. Число аргументов должно быть равно числу неизвестных.

 

На рисунке 1 показано решение системы трех линейных уравнений относительно трех неизвестных.

Рис. 1

2. Решение СЛАУ с помощью функции lsolve(A, b)

lsolve(A, b) – возвращает вектор х решения линейной системы уравненийАх = b.

. Вектор b – это вектор правых частей линейной системы уравнений.

Для решения системы уравнений необходимо выполнить следующее:

-Записываем матрицу А, которая будет состоять из коэффициентов стоящих перед

неизвестными

- Аналогично записываем матрицу b, которая будет состоять из столбца свободных членов:

- решаем систему x:=lsolve(A,b).

На рисунке 4 показано решение системы трех линейных уравнений относительно трех неизвестных.

3. Решение с помощью обратной матрицы.

Если матрица А - неособенная, то есть det A 0 то система (2), или эквивалентное ей матричное уравнение (3), имеет единственное решение.

В самом деле, при условии det A 0 существует обратная матрица А^-1. Умножая обе части уравнения (3) на матрицу А^-1 получим:

 

(5)
Для решения системы уравнений необходимо выполнить следующее:

-Записать матрицу А, которая будет состоять из коэффициентов стоящих перед

Неизвестными.

- Записать матрицу b, которая будет состоять из столбца свободных членов:

- решаем систему x:=A^-1b.

Вектор х содержит решениесистемы

 

На рисунке 2. показано решение системы трех линейных уравнений.

 

 

Рис. 2

 

Приложение 1.

 

Таблица 1 - Варианты индивидуальных заданий

 

№ варианта	Система линейных алгебраических уравнений	№ варианта	Система линейных алгебраических уравнений