Метод Гаусса (метод исключений)

Идея метода состоит в последовательном исключении неизвестных из системы n линейных уравнений.Метод Гауссасодержит два этапа: прямой ход, в процессе которого исходная система приводится к треугольному виду, и обратный ход – решение системы уравнений с треугольной матрицей.

Прямой ход.

Пусть требуется решить систему из n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными переменными вида ,

и пусть определитель ее основной матрицы отличен от нуля.

Будем считать, что , так как мы всегда можем этого добиться перестановкой местами уравнений системы.

На первом шаге исключим неизвестную переменную x₁ из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого ко второму уравнению системы прибавим первое, умноженное на , к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на , и так далее, к n-ому уравнению прибавим первое, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид

где
, .

К такому же результату мы бы пришли, если бы выразили x₁ через другие неизвестные переменные в первом уравнении системы и полученное выражение подставили во все остальные уравнения. Таким образом, переменная x₁ исключена из всех уравнений, начиная со второго.

На втором шаге с полученной системы, за исключением первого уравнения, действуем аналогично.

Будем считать, что (в противном случае мы переставим местами вторую строку с k-ой, где ). Приступаем к исключению неизвестной переменной x₂ из всех уравнений, начиная с третьего.

Для этого к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на , к четвертому уравнению прибавим второе, умноженное на , и так далее, к n-ому уравнению прибавим второе, умноженное на . Система уравнений после таких преобразований примет вид

где , а .