Дифференциал функции

Дифференциалом функции в точке называется произведение производной функции, вычисленной в этой точке, на произвольное приращение аргумента

или

Приложения производной к исследованию функции

1. Признак возрастания и убывания функции

Теорема. Если функция дифференцируема во всех точках какого-то интервала и ее производная положительна в каждой точке, то функция возрастает на этом интервале. Если производная отрицательна, то функция убывает.

Пример. Исследовать функцию

, следовательно, функция возрастает при .

, следовательно, функция убывает при .

2. Признаки максимума и минимума.

Теорема (необходимый признак экстремума, признак Ферма). Если в точке экстремума имеет производную, то производная равна нулю.

Теорема (достаточный признак экстремума). Если при переходе через стационарную точку (движение слева направо) производная меняет знак с «+» на «–», то в - максимум, если же с «–» на «+», то - минимум.

В предыдущем примере, точка - точка максимума, точка - точка минимума.

3. Наибольшее и наименьшее значения функции на замкнутом интервале

Правило отыскания наибольших и наименьших значений:

1) находим производную исследуемой функции ;

2) определяем критические точки (решаем уравнение );

3) вычисляем значения функции в критических точках и концах интервала;

4) отбираем среди вычисленных значений самое большое и самое малое.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [0,10].

1) ;

2) . Получили две критические точки (эти точки стационарные, разрывов у нет);

3) составим таблицу значений в критических точках и в концах интервала:

	-1

4) наибольшее значение достигается в правом конце интервала х=10, наименьшее значение (-1) в левом конце интервала х=0.

4. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба кривой

Теорема. Если функция дважды дифференцируема во всех точках какого-то интервала и ее вторая производная положительна в каждой точке, то это является признаком выпуклости кривой. Если вторая производная отрицательна, то кривая вогнута.

Теорема (необходимый признак точки перегиба). Если - точка перегиба, то либо , либо не существует.

Теорема (достаточный признак точки перегиба). Если при переходе через точку вторая производная функции меняет знак, то - точка перегиба.

Пример.

;

Критическая точка:

для всех , следовательно, точек перегиба нет и кривая выпукла на всей числовой прямой.

5. Асимптоты

Прямая L называется асимптотой кривой, если расстояние от текущей точки М на кривой до прямой L становится бесконечно малой величиной, когда точка М неограниченно удаляется от начала координат (т.е. когда расстояние от М до начала координат ).

Вертикальные асимптоты могут образовываться только в точках бесконечного разрыва функции .

Пример. Определить вертикальные асимптоты функции .

Данная функция имеет точку разрыва х=2, , . Таким образом, прямая х=2 – вертикальная асимптота.