Окружность

Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от точки на расстояние R.

Точка С называется центром окружности, R – радиус данной окружности.

Уравнение окружности с центром в точке и с радиусом R имеет вид:

.

Замечание 1. Если начало координат совпадает с центром окружности, то ее уравнение имеет вид:

.

Такое уравнение называется каноническим уравнением окружности.

Пример. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка

.

Решение. Сгруппируем члены, содержащие х, и отдельно члены, содержащие у, и выделим их полные квадраты.

;

;

;

;

.

Мы получили уравнение окружности с центром в точке С(1, -2) и радиусом, равным 3.

Эллипс

Эллипс – это геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Каноническое уравнение эллипса в выбранной системе координат имеет вид:

,

где .

Вершины эллипса имеют следующие координаты:

.

Отрезок - большая ось эллипса, отрезок - малая ось эллипса, соответственно и - большая и малая полуоси эллипса.

Фокуса эллипса имеют следующие координаты:

. Ось симметрии эллипса, на которой находятся фокусы, называется фокальной осью.

Замечание 1. Если , тогда каноническое уравнение эллипса примет вид и определяет окружность, а значит, окружность можно рассматривать как частный случай эллипса с равными полуосями.

Замечание 2. Число называется эксцентриситетом эллипса.

Для эллипса (для окружности ). Величина эксцентриситета влияет на форму эллипса. Так, при очень малом полуоси и почти равны и эллипс напоминает окружность. Если же величина близка к единице, то эллипс имеет сильно вытянутую форму.

Замечание 3. Если фокусы эллипса расположены на оси OY, то эллипс «вытягивается» вдоль оси OY, тогда фокусы имеют координаты , .

Пример. Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось .

Решение. По условию, .

Мы знаем, что .

Итак, каноническое уравнение эллипса имеет вид

.