Свойства смешанного произведения

Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей (не меняется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер): .

Смешанное произведение не меняется знаков векторного и скалярного умножения: , поэтому смешанное произведение записывают .

Смешанное произведение меняет свой знак при перемене любых двух вектор-сомножителей: , .

Смешанное произведение ненулевых векторов , и равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны: , , – компланарны .

Доказательство. Предположим, что векторы , и – не компланарны. Тогда можно построить параллелепипед имеющий объем , т.е. , но это противоречит условию, согласно которого, . Следовательно, векторы , и – компланарны.

Обратно, пусть , и – компланарны. Тогда вектор и перпендикулярен плоскости, в которой находятся векторы , и , значит, он перпендикулярен любому вектору, лежащему в этой плоскости, например Это значит, что .

Приложения смешанного произведения:

Определение взаимной ориентации векторов в пространстве.

Если , и – правая тройка, если левая.

Установление компланарности векторов:

 

( Þ ( , , – компланарны).

 

Определение объема параллелепипеда и треугольной пирамиды (тетраэдра):

, .

Пример. Компланарны ли векторы , и , если .

Решение. Вычислим смешанное произведение векторов:

векторы , и не компланарны.