Функции двух переменных
Функции двух переменных f(a, b) являются основными функциями алгебры логики. Четырем наборам двух входных переменных соответствует 16 возможных логических функций, которые приведены в таблице 1.4. Можно заметить, что шесть из них встречались среди функций одной переменной. Функции f0 и f15 являются соответственно константой нуля и единицы.
Функции f10 и f12 являются функциями повторения и зависят каждая только от одной из двух входных переменных.
Функции f3 и f5 есть инверсии одной из входных переменных, являются фактически функциями только одной переменной.
Из остающихся десяти функций две (f2 и f13) не являются единственными, так как они отличаются от соответствующих им функций f4 и f11 лишь порядком расположения входных переменных.
Функция f1 = a¯b называется стрелкой Пирса. Ее еще называют инверсией суммы, функцией ИЛИ—НЕ, функцией НИ... НИ..., функцией Даггера, функцией Вебба. Иногда ее обозначают как aOb, aÑb. Для этой функции имеют место следующие соотношения:
Функцию f4 = ab в технических приложениях называют запретом. Для нее справедливы следующие соотношения:
a0=a; a1=0;
aa=0; 
.
Функция f6 = aÅb называется неэквивалентностью. Еще называют исключающим ИЛИ, неравнозначностью, альтернативой, сложением по модулю 2, разноименностью и обозначают посредством символов ¹, Ñ, D, @. Для этой функции имеют место соотношения:
Функция f7 = a/b называется штрих Шеффера, а также инверсией произведения, функцией И—НЕ, несовместностью. Для нее справедливы следующие соотношения:
.
Таблица 1.4 Функции двух переменных
| Функция | Таблица вероятности | Символьное обозначение | Содержание логической функции | |||||
| a | ||||||||
| b | ||||||||
| Нулевая | f0 | Функция никогда не имеет значения 1, каким бы ни были значения переменных | ||||||
| Стрелка Пирса (функция ИЛИ-НЕ) | f1 | a↓b | Функция имеет значение 1 тогда и только тогда, когда обе переменные имеют значение 0 | |||||
| Запрет а | f2 | b←a | Функция имеет значение 0, если переменная а имеет значение 1, каким бы при этом ни было значение переменной b. Значения функции совпадают со значениями переменной b, если переменная а имеет значение 0 | |||||
| Инверсия а (функция НЕ а) | f3 | 
| Функция имеет значение, обратное значению переменной а, и не зависит от значения переменной b | |||||
| Запрет b | f4 | a←b | Функция имеет значение 0, если переменная b имеет значение 1, каким бы при этом ни было значение переменной а. Значения функции совпадают со значениями переменной а, если переменная b имеет значение 0 | |||||
| Инверсия b (функция НЕ b) | f5 | 
| Функция имеет значение, обратное значению переменной b, и не зависит от значения переменной а | |||||
| Неэквивалентность (исключающая ИЛИ) | f6 | 
| Функция имеет значение 1 тогда и только тогда, когда, либо переменная а, либо переменная b имеет значение 1 (но не обе вместе) | |||||
| Штрих Шеффера (функция И-НЕ) | f7 | a/b | Функция имеет значение 0 тогда и только тогда, когда обе переменные имеют значение 1 | |||||
| Конъюнкция (функция И) | f8 | ab | Функция имеет значение 1 тогда и только тогда, когда и переменная а, и переменная b, имеют значение 1 | |||||
| Эквивалентность (равнозначность) | f9 | 
| Функция имеет значение 1 тогда и только тогда, когда обе переменные имеют одинаковое значение, и значение 0, когда переменные имеют разное значение | |||||
| Повторение b | f10 | b | Функция повторяет значение переменной b независимо от значения переменной а | |||||
| Импликация b | f11 | a→b | Функция имеет значение 0 тогда и только тогда, когда переменная а имеет значение 1, а переменная b имеет значение 0 | |||||
| Повторение а | f12 | a | Функция повторяет значение переменной а, независимо от значения переменной b | |||||
| Импликация а | f13 | b→a | Функция имеет значение 0 тогда и только тогда, когда переменная b имеет значение 1, а переменная а имеет значение 0 | |||||
| Дизъюнкция (функция ИЛИ) | f14 | a+b | Функция имеет значение 0 тогда и только тогда, когда обе переменные имеют значение 0. Функция имеет значение 1, когда или переменная а, или переменная b, или обе вместе имеют значение 1 | |||||
| Единичная | f15 | Функция всегда имеет значение 1, каким бы ни были значения переменных |
Таблица 1.4 Функции двух переменных (продолжение)
| Структурная формула | Условное обозначение | Совершенные нормальные формы | ||
| дизъюнктивная | конъюнктивная | |||
| 
| - | 
| |
| 
| 
| 
| |
| 
| 
|
| |
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| 
| |
| 
| 
| - |
Функция f8 = ab называется конъюнкцией. Ее еще называют произведением, логическим умножением, функцией И, пересечением и обозначают с помощью символов L, Ç, &. Для этой функции справедливы следующие соотношения:
a*0 = 0; a*1 = a;
Функция f9 = a º b называется эквивалентностью, а также равнозначностью. Для ее обозначения употребляют символы º, «. Для нее имеют место соотношения:
Функция f11 = a®b называется импликацией (иногда включением). Для нее справедливы соотношения:
Функция f14 = a+b называется дизъюнкцией, а также суммой, логическим сложением, функцией ИЛИ, объединением. Для ее обозначения справедливы следующие равенства:
a + 0 = a; a + 1 = 1; a + a = a; a + 
= 1.
Существует два стандарта обозначения логических элементов на схемах. Первое обозначение используется в основном в англоязычной литературе, второе – в отечественной и рекомендовано ГОСТ. На рис. 1.1 и рис. 1.2 представлены условные обозначения основных элементов.
Рис. 1.1 Условные графические Рис. 1.2Условные графические
обозначения буфера (а) и инвертора (б) обозначения функций:
а) - И; б) – ИЛИ; в) - И-НЕ;