Интерференционные эффекты при надбарьерном пролете частиц.

Рассмотрим особенности прохождения частицы над прямо­угольным потенциальным барьером (рис. 1.2, а), когда E>U₁, и E>U₂. Сразу отметим, что надбарьерное прохождение частиц может служить одним из простейших примеров проявления кванто­вых размерных эффектов. Последние в этом случае приводят к квазипериодической осцилляции коэффициента прохождениячастиц при изменении их энергии Е.

В данном случае решение уравнения Шредингера для всех трех областей будет иметь вид

,

здесь j- номер области. При этом, в отличие от (1.2.1),

К₂ (1.3.1)

где Е₂ =E-U₁.

Полагая, как и ранее, что частицы движутся слева направо, в отсутствии рассеяния можно получить

, (1.3.2)

R = 1-D; (1.3.3)

Заметим, что выражения (1.3.2), (1.3.3) переходят в (1.2.5), (1.2.6), если учесть, что К₂ =-i

В случае симметричного барьера, когда К₁ = К₃ (рис. 1.2, б), выражения (1.3.2) и (1.3.3) упрощаются и принимают вид

(1.3.4)

(1.3.5)

Анализ (1 .3.4) и (1.3.5) показывает, что при изменении энергии частицы Е будут наблюдаться осцилляции коэффициентов прохождения и отражения. При этом, когда D=D_max, то R = R_min , инаоборот. Период осцилляции соответствует условию

или

K_2,nL=n (1.3.6)

при выполнении, которого коэффициент прохождения для частиц с волновым вектором K_2,n обращается в единицу. В этом случае для частиц с энергией

Е_2,n=Е-U₀ (1.3.7)

на ширине барьера L укладывается целое число полуволн де Бройля и коэффициент отражения равен нулю. Квазиклассически это можно трактовать как результат интерференции волн, отраженных от скачков потенциала на границах барьера. Условие (1.3.7) можно еще записать в виде

(1.3.8)

Величина V_n равна энергии n-го уровня частицы, локализован­ной внутри потенциальной ямы шириной L с бесконечно высокими стенками, т.е. резонансные значения энергии Е_2,n совпадают с энергией n-го уровня такой ямы.

При изменении энергии частицы коэффициент прохождения осциллирует, как показано на рис. 1.3. Минимальные значения D=D_min, соответствующие им значения Е'_2п («антирезонанс­ные» состояния) можно приближенно оценить из условия

 

Отсюда

n=1,2…; (1.3.9)

D_min,n (1.3.10)

С ростом номера п и уменьшением ширины барьера L мини­мальный коэффициент прохождения D_min,n быстро возрастает, так что осцилляции становятся все менее выраженными. Увеличение высоты барьера U₀, напротив, уменьшает D_min,n, увеличивая ам­плитуду осцилляции, при этом соответствующие антирезонансные значения остаются постоянными (рис. 1.3).

Используя предыдущие рассуждения (симметричный барьер), можно получить выражение для оценки отношения концентрации

Рис. 1.3 Зависимости коэффициента прохождения над потенциальным барьером от энергии

 

частиц в окрестности точки с координатой 0 < x < L (над барьером) к концентрации частиц в падающей волне (см. рис. 1.2, б)

(1.3.11)

здесь D определяется выражением (1.3.4).

Согласно (1.3.11) для частиц, имеющих энергию Е, удовлетво­ряющую условию (1.3.6), когда D> D_mах = 1, получим

Q(x=0) =1, Q(x=L/2)=E/(E-U₀)=1+(U₀/E₂), Q(x=L)=1 (1.3.12)

Следовательно, в данном случае концентрация частиц с энерги­ей E в области, занимаемой барьером, будет больше, чем в падаю­щей волне, т.е., несмотря на то, что при Е > U₀ волновая функция электрона «размазана» по всему пространству, существуют из­бранные значения энергии (и импульса) Е_т при которых вслед­ствие интерференции электронных волн, отраженных от гра­ниц барьера, амплитуда волновой функции в области барьера будет больше, чем в других областях.

Сделанные выводы справедливы и в случае несимметричного барьера (см. рис. 1.2, а, в, г). Однако при этом D_mах будет меньше единицы, поэтому все эффекты выражены слабее.

В реальных полупроводниковых структурах наблюдать и тем более использовать на практике квантовые осцилляции вероятно­сти надбарьерного прохождения носителей заряда достаточно трудно, поскольку над барьером могут проходить лишь «горячие» электроны, причем увеличение эффекта за счет более высоких барьеров требует соответствующего повышения их энергии. Кроме того, уменьшение коэффициента прохождения при увеличении энергии электронов, которое в принципе могло бы привести к по­явлению падающего участка на ВАХ структуры, реально оказыва­ется либо малым, либо происходит на интервале энергий 30.. .50 мэВ, сравнимом с тепловым разбросом при комнатной тем­пературе, и поэтому при температурах выше комнатной сильно размыто.