Геометрическое распределение
На практике геометрическое распределение возникает при следующих условиях: пусть производится серия независимых опытов, в каждом из которых может произойти событие А с одной и той же вероятностью p. Опыты продолжаются до первого появления события А. Тогда случайная величина X, определяющая число неудач, предшествующих успеху, распределена по геометрическому закону.
Возможные значения этой случайной величины: 0, 1, 2, …, n, …, а вероятность каждого из этих значений определяется по формуле
, (24)
где 0 £ p £ 1; q = 1 – p; m = 0, 1, 2, …, n, … .
Геометрическое распределение зависит от параметра p.
Замечание– Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность a1, a2,…, an,…, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему, умноженному на одно и то же, не равное нулю, число, называемое знаменателем геометрической прогрессии q,
, 
, …, 
.
Сумма бесконечно убывающей (q < 1) геометрической прогрессии 
.
Условие 
выполняется, так как принимая во внимание условие сходимости геометрического ряда 
, ( 
) и формулу 
для его суммы, получаем 
Ряд распределения случайной величины X, имеющей геометрический закон:
| xi | … | m | … | n | … | |||
| pi | p | q1 p | q2 p | … | qm p | … | qn p | … |
Для случайной величины, распределенной по геометрическому закону,
, 
, 
, 
Пример 31Вероятность изготовления нестандартного изделия при некотором технологическом процессе равна 0,06. Контролер берет из партии изделие и сразу проверяет его качество. Если оно оказывается нестандартным, то дальнейшие испытания прекращаются, а партия задерживается. Если же изделие оказывается стандартным, то контролер проверяет следующее изделие и т. д. Записать закон распределения случайной величины X – числа стандартных изделий, проверенных до выявления брака.
Решение. Условие задачи соответствует проведению независимых испытаний, в каждом из которых с вероятностью p = 0,06 может осуществиться событие A = {обнаружено нестандартное изделие}. В этом случае неудача – обнаружение стандартного изделия, успех – обнаружение нестандартного изделия. Случайная величина X – число стандартных изделий, проверенных до выявления брака, распределена по геометрическому закону. Возможные значения этой случайной величины: 0, 1, 2, 3, …, m, …. По условию p = 0,06, q = 1 – 0,06 = 0,94.
Вероятности значений определяются по формуле (24):
(то есть нестандартное изделие будет обнаружено сразу же при проверке первого изделия, при этом число стандартных изделий, проверенных до появления брака, будет равно 0);
(то есть нестандартное изделие будет обнаружено при проверке второго изделия, при этом число стандартных изделий, проверенных до появления брака, будет равно 1);
(то есть нестандартное изделие будет обнаружено при проверке третьего изделия, при этом число стандартных изделий, проверенных до появления брака, будет равно 2) и т. д.
Закон распределения можно записать в виде 
, или в виде ряда распределения случайной величины X:
| xi | … | m | … | n | … | |||
| pi | 0,06 | 0,0564 | 0,053016 | … | 
| … | 
| … |
В литературе встречается и иное определение геометрического распределения: случайная величина X распределена по геометрическому закону, если эта величина дискретна и определяет число независимых испытаний Бернулли, предшествующих первому появлению успеха. Возможные значения этой случайной величины 1, 2, …, n, …, а вероятность каждого из значений определяется по формуле
, (25)
где 0 £ p £ 1; q = 1 – p; m = 1, 2,…, n,… .
В этом примере случайная величина X определяет число произведенных опытов, предшествующих успеху.
Ряд распределения случайной величины X, распределенной по геометрическому закону, имеет вид:
| xi | … | m | … | n | … | ||
| pi | p | q1 p | … | qm-1 p | … | qn-1p | … |
Для случайной величины, распределенной по геометрическому закону,
, 
, 
, 
.
Пример 32На основании данных примера 31записать закон распределения случайной величины X – числа проверенных изделий до выявления брака.
Решение. Условие задачи соответствует проведению независимых испытаний, в каждом из которых с вероятностью p = 0,06 может осуществиться событие A = {обнаружено нестандартное изделие}. В этом случае неудача – обнаружение стандартного изделия, успех – обнаружение нестандартного изделия. Случайная величина X – число проверенных изделий до выявления брака, распределена по геометрическому закону. Возможные значения этой случайной величины: 1, 2, 3, …, m,…. По условию p = 0,06, q = 0,94.
Вероятности возможных значений определяются по формуле (25):
(то есть нестандартное изделие будет обнаружено сразу же при проверке первого изделия и партию задержат);
(то есть нестандартное изделие будет обнаружено при проверке второго изделия, при этом число стандартных изделий, проверенных до появления брака, будет равно 1);
(то есть нестандартное изделие будет обнаружено при проверке третьего изделия, при этом число стандартных изделий, проверенных до появления брака, будет равно 2) и т. д.
Закон распределения рассмотренной случайной величины можно записать в виде 
, или в виде ряда распределения случайной величины X:
| xi | … | m | … | n | … | |||
| pi | 0,06 | 0,0564 | 0,053016 | … | 
| … | 
| … |
Пример 33Производится подбрасывание игрального кубика до первого выпадения шести очков. Какова вероятность того, что первое выпадение шестерки произойдет при втором подбрасывании игрального кубика?
Решение. Условие задачи соответствует проведению независимых испытаний, в каждом из которых с вероятностью p = 1/6 может осуществиться событие A = {выпадение шести очков}. В этом случае неудача – выпадение любого числа от 1 до 5, успех – выпадение шести очков. Случайная величина X – число подбрасываний игрального кубика до выпадения шестерки, распределена по геометрическому закону. Возможные значения этой случайной величины: 1, 2, 3, …, m,…. Вероятность успеха p = 1/6, вероятность неудачи q = (1 – 1/6) = 5/6.
Вероятности появления шестерки при втором подбрасывании кубика определим по формуле (25):
(то есть шестерка появится при втором подбрасывании кубика, при этом при первом подбрасывании появится любое число от 1 до 5).
Закон распределения рассмотренной случайной величины можно записать в виде 
.