Биномиальное распределение

Говорят, что дискретная случайная величина X распределена по биномиальному закону, если возможные значения этой случайной величины 0, 1, 2,…, n, а вероятность каждого из значений определяется по формуле Бернулли

, (21)

 

где 0 £ p £ 1; q = 1 – p; m = 0, 1, 2,…, n.

Постоянные pи n, входящие в формулу (21), называются параметрами биномиального распределения.

На практике биномиальное распределения возникает при следующих условиях: пусть производится серия из n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может осуществиться с вероятностью p. Тогда случайная величина X, определяющая число появлений события A в серии из n испытаний, распределена по биномиальному закону.

Закон называется «биномиальным» потому, что правую часть равенства (21) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:

 

. (22)

 

Ряд распределения случайной величины X, распределенной по биномиальному закону, имеет вид:

 

xi			…	k	…	n – 1	n
pi	qn	npqn-1	…	Cnkpkqn-k	…	npn-1q	pn

Для случайной величины, распределенной по биномиальному закону,

 

M[X] = np, D[X] = npq, . (23)

 

Пример 30По каналу связи передается 5 сообщений. Каждое сообщение с вероятностью 0,1 независимо от других искажается. Случайная величина X – число искаженных сообщений. Построить ряд распределения этой случайной величины, вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение непосредственно по ряду распределения и сравнить со значениями, которые получаются при использовании формул (23). Найти вероятность того, что будет искажено не более одного сообщения.

Решение. Условие задачи соответствует проведению n = 5 независимых испытаний, в каждом из которых с вероятностью p = 0,1 может осуществиться событие A = {искажение передаваемого сигнала}. Случайная величина X, обозначающая число искаженных сообщений, распределена по биномиальному закону. Возможные значения этой случайной величины: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Вероятности возможных значений случайной величины определяются по формуле Бернулли:

 

; ;

 

; ;

 

; .

Ряд распределения имеет вид:

 

xi							Итого
pi	0,59049	0,32805	0,0729	0,0081	0,00045	0,00001
		0,32805	0,1458	0,0243	0,0018	0,00005	0,5
		0,32805	0,2916	0,0729	0,0072	0,00025	0,7

 

Убедимся, что .

Вычислим числовые характеристики данной случайной величины:

 

;

[сообщений];

x_mod = 0 [сообщений].

 

Вычислим числовые характеристики этой случайной величины по формулам (23):

M[X] = n p = 5 × 0,1 = 0,5; D[X] = n p q = 5 × 0,1 × 0,9 = 0,45.

 

Как и следовало ожидать, получены точно такие же значения.

Вероятность того, что будет искажено не более одного сообщения,

P(X £ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,59049 + 0,32805 = 0,91854.