Геометрические вероятности

 

Классический метод определения вероятности предполагает, что число элементарных исходов W вероятностного эксперимента Е конечно. На практике встречаются опыты, для которых множество таких исходов бесконечно. Иногда для вычисления вероятностей случайных событий, чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область.

Рассмотрим сначала квадрируемую область на плоскости, то есть область, имеющую площадь. Обозначим эту область буквой , а ее площадь . В области содержится область g площади (рисунок 3). В область наудачу брошена точка. Будем считать, что брошенная точка может попасть в некоторую часть области с вероятностью, пропорциональной площади этой части и не зависящей от ее формы и расположения. Пусть событие А – попадание брошенной точки в область g,тогда геометрическая вероятность этого события определяется формулой

В общем случае понятие геометрической вероятности вводится следующим образом. Обозначим меру всей области (длину, площадь, объем) через , а меру области, попадание в которую благоприятствует событию , – через . Вероятность попадания в область точки, брошенной в область , определяется формулой

 

Рисунок 3– Геометрическая интерпретация
вероятностного эксперимента

Пример 13В круг вписан квадрат. Наудачу в круг бросается точка. Какова вероятность того, что точка попадет в квадрат? Какова вероятность того, что точка не попадет в квадрат?

Решение. Введем обозначения: – радиус круга, – сторона вписанного квадрата, – площадь круга, – площадь, вписанного квадрата (рисунок 4).

 

 

Рисунок 4– Геометрическая интерпретация
вероятностного эксперимента

Событие А ={точка, наудачу брошенная в круг, попала в квадрат}.

Как известно, площадь круга , сторона вписанного квадрата через радиус описанной окружности выражается формулой , площадь квадрата . Мера всей области , а мера области, попадание в которую благоприятствует событию , = . Вероятность события

Событие B ={точка, наудачу брошенная в круг, не попала в квадрат}.

События А и B являются противоположными событиями. Соответственно вероятность события B .

Вопросы для самоконтроля

 

1 Что называют вероятностью события?

2 Чему равна вероятность достоверного события?

3Чему равна вероятность невозможного события?

4 В каких пределах заключена вероятность случайного события?

5 Какое определение вероятности называют классическим?

6 Что называют перестановками?

7 По какой формуле вычисляют число перестановок из п различных элементов?

8 Что называют размещениями?

9 По какой формуле вычисляют число размещений из п различных элементов по т элементов?

10 Что называют сочетаниями? По какой формуле вычисляют число сочетаний из п элементов по т элементов?

11 Каким равенством связаны числа перестановок, размещений и со­четаний?

12 По какой формуле вычисляется число перестановок из п элемен­тов, если некоторые элементы повторяются?

13 Какой формулой определяется число размещений по т элементов с повторениями из п элементов?

14 Какой формулой определяется число сочетаний с повторениями из п элементов по т элементов?

15 В чем заключаются правила суммы и произведения?

16 В чем состоит геометрический способ вычисления вероятностей? Условия его применения.