Пример 3.

Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1;2) и В(4;4) и ее угловой коэффициент.

Решение:

Используем уравнение (2.1.4): Подставим в него координаты точек А и В; ;

- угловой коэффициент.

 

Пример 4.

Найти уравнение и длину перпендикуляра, опущенного из точки С(1;2) на прямую 3х – 4у + 2 =0.

Решение:

Через точку С проведем пучок прямых(2.1.7):

Угловой коэффициент «к» найдем из условия перпендикулярности прямых , для чего прежде найдем угловой коэффициент заданной прямой.

тогда .

Подставим найденное значение в уравнение пучка прямых.

уравнение перпендикуляра.

Длину этого перпендикуляра найдем по формуле(2.1.7):

где

- координаты точки С.

В нашем случае это будет:

Пример 5.

Найти: а) уравнение медианы АЕ; б) прямой, проходящей через точку Е, параллельно стороне АВ в треугольнике с вершинами в точках А(-3;0),В(2;5) и С(4;3).

Решение:

а) Найдем координаты точки Е – середины отрезка ВС по формулам(2.1.3):

Е(3;4).

Уравнение медианы найдем, используя уравнение прямой, проходящей через две точки(2.1.4).

Подставим в него координаты точек А и Е:

.

б) Прежде, чем ответить на вопрос задачи, найдем уравнение стороны АВ, как прямой, проходящей через две точки. Затем через точку Е проведем пучок прямых, подчинив его условию параллельности прямых.

; .

Пучок прямых,. проходящих через точку Е: у-4=к (х-3).

Условие параллельности прямых . Подставим это значение «к» в уравнение пучка, у-4=х-3, или у=х+1.

 

Вопросы для самопроверки

1. Напишите формулы для вычисления расстояния между двумя точками и деления отрезка в данном отношении.

2. Как найти координаты середины отрезка?

3. Как найти угловой коэффициент прямой, если она задана общим уравнением?

4. Сформулируйте условия параллельности и перпендикулярности прямых.

5. Что представляет собой уравнение пучка прямых?

6. Напишите уравнение прямой, проходящей через две точки.

7. Как найти расстояние от точки до прямой?