Проверка формулы Герца для соударяющихся упругих шаров

Постановка задачи.Применяя закон сохранения энергии в процессе соударения упругих шаров и учитывая нелинейный характер задачи (силы упругости растут с ростом радиуса смятия и с увеличением сближения шаров, Генрих Герц вывел соотношение (подробнее можно познакомиться с задачей Герца в книге[8]) между временем соударения и скоростью налетающего шара: t ~ (1/u)^1/5. Здесь t- время соударения; u- скорость налетающего шара.

Указания к решению.Скорость шара в момент начала соударения определяется из рис. 8.1. Задача решается с использованием закона сохранения энергии. Пусть в первый момент соприкосновения шаров механическая энергия . Тогда по мере взаимодействия и сближения шаров растет потенциальная энергия взаимодействия, а кинетическая энергия движущегося шара убывает. Из закона сохранения механической энергии имеем

(8.23)

Зависимость силы упругости от сближения шаров u получаем из (2.21)

F~(-u3/2).

Из известного соотношения между потенциальной энергией и силой упругости

получим

W_пот~u^5/2; W_пот=ku^5/2. (8.24)

Здесь коэффициент пропорциональности k зависит от радиуса шаров и свойств материала. Из (8.23) и (8.24) получим уравнение

(8.25)

Максимальное сближение шаров достигается при du/dt»0. Решив уравнение (8.25), определим время t, в течение которого длится соударение (при этом u меняется от 0 до u_mas и обратно). Хотя уравнение (8.25) легко решается разделением переменных, закон Герца запишем без вывода

t~ .

Здесь, как и ранее, коэффициент пропорциональности зависит от масс и размеров шаров, свойств материала. Для проверки закона Герца следует построить график, где по оси абсцисс отложить u₀, а по оси ординат произведение t²u₀.

Указание: при малых углах a возможна замена sina»a. Отметим, что a надо рассчитать в радианах.