Полуправильные многогранники

Лабораторная работа №9(5 MT)

Цель:

• Построение полуправильных многогранников с помощью системы Mathematica;
• Развивать пространственное воображение за счет данного пакета.

Полуправильным многогранником называется выпуклый многогранник, гранями которого являются правильные многоугольники, возможно, и с различным числом сторон, и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. К полуправильным многогранникам относятся правильные n - угольные призмы, все ребра которых равны. К полуправильным многогранникам относятся и так называемые антипризмы с равными ребрами.

Кроме этих двух бесконечных серий полуправильных многогранников, существует еще четырнадцать полуправильных многогранников, тринадцать из которых впервые открыл и описал Архимед, - это тела Архимеда.
Самые простые из них получаются из правильных многогранников операцией усечения, состоящей в отсечении плоскостями углов многогранника.

Если срезать углы тетраэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его рёбер, выходящих из одной вершины, то получим усеченный тетраэдр - рис.1, имеющий восемь граней. Команда усечения - Truncate.

pис. 1. Усеченный тетраэдр

 

Если таким же образом срезать вершины остальных четырёх правильных многоугольников, то получим соответственно усечённый куб, усечённый октаэдр, усечённый икосаэдр, усечённый додекаэдр.

На рис.2 изображён усечённый куб - в данном случае углы исходного куба срезаны плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его рёбер, выходящих из одной вершины.

pис. 2. Усеченный куб

 

На рис.3 изображен усеченный октаэдр (коэффициент усечения - 0.3).

pис. 3. Усеченный октаэдр

 

На рис.4 изображён усечённый икосаэдр (коэффициент усечения - 0.3),а на рис.5 - усечённый додекаэдр (коэффициент усечения - 0.3).

pис. 4. Усеченный икосаэдр

 

pис. 5. Усеченный додекаэдр

 

Для того чтобы получить ещё один полуправильный многогранник, проведём в кубе отсекающие плоскости через середины рёбер, выходящих из одной вершины. В результате получим полуправильный многогранник, который называется кубооктаэдром - рис. 6.

pис. 6. Кубооктаэдр

 

Аналогично, если в додекаэдре отсекающие плоскости провести через середины рёбер, выходящих из одной вершины, то получим многогранник, который называется икосододекаэдром - рис.7. У него двадцать граней - правильные треугольники и двенадцать граней - правильные пятиугольники, то есть все грани икосаэдра и додекаэдра.

pис. 7. Икосододекаэдр

 

К последним двум многогранникам снова можно применить операцию усечения. Получим усечённый кубооктаэдр - рис.8 и усечённый икосододекаэдр - рис.9.

pис. 8. Усеченный кубооктаэдр

 

pис. 9. Усеченный икосододекаэдр

 

Мы рассмотрели 9 из 13 описанных Архимедом полуправильных многогранников. Четыре оставшихся разновидностей многогранников являются многогранниками более сложного типа. Этими многогранниками являются: ромбокубооктаэдр, ромбоикосододекаэдр, плосконосый (курносый) куб, плосконосый (курносый) додекаэдр.