Примеры решения задач

 

Пример 1. В баллоне вместимостью V=6,9 л находится азот массой m=2,3 г. При нагревании часть молекул диссоциировали на атомы. Коэффициент диссоциации a=0,2. Определить: 1) об­щее число N₁ молекул и концентрацию n₁ молекул азота до нагрева­ния; 2) концентрацию n₂ молекул и n₃ атомов азота после нагрева­ния.

Решение. По определению, концентрация частиц газа есть отношение числа частиц к вместимости сосуда, занимаемого газом:

n=N/V. (1)

1. Число N₁ молекул газа до нагревания найдем из соотношения

.(2)

где v — количество вещества азота; n_a— постоянная Авогадро; М — молярная масса азота; M_r — относительная молекулярная масса азота; k=10^-3 кг/моль. Подставив значения величин в (2), получим

.

Концентрацию n₁ найдем, подставив значения величин в (1):

.

2. Концентрацию после нагревания найдем из соотношения

, (3)

гдеN — число молекул, не распавшихся на атомы.

После подстановки значений величин в (3) получим

.

Концентрация атомов после нагревания азота

.(4)

Число 2 в формуле (4) выражает тот факт, что каждая молекула после распада дает два атома.

Подставим в (4) значения величин и произведем вычисления:

.

Пример 2. В колбе вместимостью V=0,5 л находится кислород при нормальных условиях. Определить среднюю энергию поступательного движения всех молекул, содержащихся в колбе.

Решение. Средняя энергия поступательного движе­ния всех молекул может быть выражена соотношением

, (1)

где <e_п>— средняя энергия поступательного движения одной моле­кулы;N — число всех молекул, содержащихся в колбе.

Как известно,

, (2)

где k — постоянная Больцмана; Т — термодинамическая темпера­тура.

Число молекул, содержащихся в колбе, найдем по формуле

N=v∙N_A, (3)

где v — количество вещества кислорода; N_A — постоянная Авогадро.

Количество вещества v найдем из таких соображений: известно, что при нормальных условиях молярный объем V_m равен 22,4×10^-3 м³/моль. Так как, по условию задачи, кислород в колбе находится при нормальных условиях, то количество вещества кис­лорода в колбе выражается соотношением

v=V/V_m. (4)

Подставив выражениеv по (4) в (3), получим

N=V∙N_A/V_m. (5)

С учетом (2) и (5) выражение (1) энергии поступательного движе­ния молекул примет вид

(6)

Подставив значения величин в (6) и произведя вычисления, най­дем

.

Пример 3. Средняя длина свободного пробега<l> молекулы угле­кислого газа при нормальных условиях равна 40 нм. Определить среднюю арифметическую скорость <J> молекул и число z соударе­ний, которые испытывает молекула в 1 с.

Решение. Средняя арифметическая скорость молекул опре­деляется по формуле

,

где М — молярная масса вещества.

Подставив числовые значения, получим

<υ>=362 м/с.

Среднее число <z> соударений молекулы в 1 с определяется отно­шением средней скорости <υ> молекулы к средней длине ее свобод­ного пробега<l>:

<z>=<υ>/<l>.

Подставив в эту формулу значения <υ>=362 м/с, <l>=40 нм=4×10^{-8 м, получим}

<z>= 9,05×10⁹ с^-1.

 

Пример 4. Два тонкостенных коаксиальных цилиндра длиной l=10 см могут свободно вращаться вокруг их общей оси z. РадиусRбольшого цилиндра равен5 см. Между цилиндрами имеется зазор размером d=2 мм. Оба цилиндра находятся в воздухе при нормаль­ных условиях. Внутренний цилиндр приводят во вращение с посто­янной частотой n₁=20 с^-1. Внешний цилиндр заторможен. Определить, через какой промежуток времени с момента освобождения внешнего цилиндра он приобретет частоту вращения n₂=1c^-1. При расчетах изменением относительной скорости цилиндров пре­небречь. Масса m внешнего цилиндра равна100 г.

Решение. При вращении внутреннего цилиндра слой воз­духа увлекается им и начинает участвовать во вращательном движе­нии. Вблизи поверхности этого цилиндра слой воздуха приобретает со временем практически такую же линейную скорость, как и ско­рость точек на поверхности цилиндра, т. е. υ=2p∙n₁∙(R – d). Так как d«R, то приближенно можно считать

υ»2p∙n₁∙R (1)

Вследствие внутреннего трения момент импульса передается соседним слоям газа и в конечном счете внешнему цилиндру. За интервал времени Dt внешний цилиндр Приобретает момент импуль­са L=p∙R, где р — импульс, полученный за Dt внешним цилинд­ром. Отсюда

p=L/R. (2)

С другой стороны,

, (3)

где h — динамическая вязкость; —градиент скорости; S —площадь поверхности цилиндра (S=2p∙R∙l).

Приравняв правые части выражений (2) и (3) и выразив из полу­ченного равенства искомый интервал Dt, получим

.

Найдем входящие в эту формулу величины L, иS. Момент импульсаL=J∙w₂, гдеJ — момент инерции цилиндра (J=m∙R²); m — его масса; w₂ — угловая скорость внешнего цилиндра (w₂=2p∙n₂). С учетом этого запишем

L=m∙R²×2p∙n₂=2p∙m∙R²∙n₂

Градиент скорости .Площадь цилиндра равна S=2p∙R∙l.

Подставив в (4) выраженияL, , S, получим

.

Заменив здесь υ по (1), найдем

. (5)

Динамическая вязкость воздухаh== 17,2 мкПа×с= 1,72∙10^-5 Па∙с.

Подставив в (5) значения входящих в нее величин и произведя вычисления, получим

.

 

Пример 5. Найти среднюю кинетическую энергию одной моле­кулы аммиака NH₃ при температуре t=27 °С и среднюю энергию вращательного движения этой молекулы при той же температуре.

Решение. Средняя полная энергия молекулы определяется по формуле

(1)

где i — число степеней свободы молекулы; k — постоянная Больцмана; Т—термодинамическая температура газа: T=t+Т₀, где Т₀=273 К.

Число степеней свободыi четырехатомной молекулы, какой явля­ется молекула аммиака, равно 6.

Подставим значения величин в (l):

.

Средняя энергия вращательного движения молекулы определя­ется по формуле

, (2)

где число 3 означает число степеней свободы поступательного дви­жения.

Подставим в (2) значения величин и вычислим:

.

Заметим, что энергию вращательного движения молекул ам­миака можно было получить иначе, разделив полную энергию (e) на две равные части. Дело в том, что у трех (и более) атомных молекул число степеней свободы, приходящихся на поступательное и враща­тельное движение, одинаково (по 3), поэтому энергии поступатель­ного и вращательного движений одинаковы. В данном случае

Пример 6. Пылинки массой m=10^{-18 г взвешены в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентра­ция пылинок различается не более чем на 1 %. Температура Т воздуха во всём объеме одинакова и равна 300 К.}

Решение. При равновесном распределении пылинок кон­центрация их зависит только от координаты z по оси, направленной вертикально. В этом случае к распределению пылинок можно при­менить формулу Больцмана

. (1)

Так как в однородном поле силы тяжести U=m∙g∙z, то

^.(2)

По условию задачи, изменение Dn концентрации с высотой мало по сравнению с n(Dn/n=0,01), поэтому без существенной погреш­ности изменение концентрации Dn можно заменить дифференциа­лом dn.

Дифференцируя выражение (2) по z, получим

.

Так как , то

.

Отсюда находим интересующее нас изменение координаты:

.

Знак минус показывает, что положительным изменениям координа­ты (dz>0) соответствует уменьшение относительной концентрации (dn<0). Знак минус опустим (в данном случае он несуществен) и заменим дифференциалы dz и dn конечными приращениями Dzи Dn:

.

Подставим в эту формулу значения величин Dn/n=0,01, k=1,38×10^-23 Дж/К, T=300 К, m= 10^{-21 кг,} g=9,81 м/с² и, произведя вычисления, найдем

Dz=4,23 мм.

Как видно из полученного результата, концентрация даже таких маленьких пылинок (m== 10^{-18 г) очень быстро изменяется с высотой.}

 

Пример 7. В сосуде содержится газ, количество вещества v которого равно 1,2 моль. Рассматривая этот газ как идеальный, определить число DN молекул, скоростиυ которых меньше 0,001 наиболее вероятной скорости υ_в.

Решение. Для решения задачи удобно воспользоваться рас­пределением молекул по относительным скоростям u (u=υ/υ_в). Число dN(u) молекул, относительные скорости и, которых заключены в пределах от u до du, определяется формулой

, (1)

гдеN — полное число молекул.

По условию задачи, максимальная скорость интересующих нас молекул υ_max=0,001υ_в, откуда u_max=υ_max/υ_в=0,001. Для таких значений и выражение (1) можно существенно упростить. В самом деле, для u«1 имеем е^-2»1-u². Пренебрегая значением u²=(0,001)²=10^-6 по сравнению с единицей, выражение (1) запишем в виде

. (2)

Интегрируя это выражение по и в пределах от 0 до u_max, получим

, или . (3)

Выразив в (3) число молекулN через количество вещества и постоянную Авогадро, найдем расчетную формулу:

.(4)

Подставим в (4) значения величин v, n_aи произведем вычисле­ния:

.

 

Пример 8. Зная функциюf(р) распределения молекул по импуль­сам, определить среднее значение квадрата импульса<p²>.

Решение. Среднее значение квадрата импульса <p²> можно определить по общему правилу вычисления среднего:

. (1)

Функция распределения молекул по импульсам имеет вид

(2)

Эта функция распределения уже нормирована на единицу, т. е.

.

С учетом нормировки формулу (1) перепишем иначе:

. (3)

Подставим выражение f(p) по уравнению (2) в формулу (3) и выне­сем величины, не зависящие от р, за знак интеграла:

.

Этот интеграл можно свести к табличному.

, положив .

 

В нашем случае это даст

.

После упрощений и сокращений найдем

<p²>=3m∙k∙T.

 

Пример 9. Определить начальную активность А₀ радиоактив­ного магния 27Mg массой m=0,2 мкг, а также активность А по исте­чении времени t=1 ч. Предполагается, что все атомы изотопа ра­диоактивны.

Решение. Начальная активность изотопа

А₀= λ∙N₀ (1)

где λ — постоянная радиоактивного распада; N₀— количество ато­мов изотопа в начальный момент (t=0).

Если учесть, что

 

 

то формула (1) примет вид

Выразим входящие в эту формулу величины в СИ и произведем вычисления:

A₀=5,15×10¹² Бк=5,15ТБк.

Активность изотопа уменьшается со временем по закону

A=A₀∙e^-λ∙t (3)

Заменив в формуле (3) постоянную распада λ ее выражением, по­лучим

A=A₀ e^-ln2*t/T1/2 =A₀ (e^ln2)^-t/T1/2

Так как e^ln2 = 2 окончательно будем иметь

A=A₀ /2^t/T1/2

Сделав подстановку числовых значений, получим

A=8,05×10¹⁰Бк=80,5 ГБк .

 

Пример 10. При определении периода полураспада T_1/2 короткоживущего радиоактивного изотопа использован счетчик импульсов. За время ∆t = 1 мин в начале наблюдения (t=0) было насчитано ∆n₁=250 импульсов, а по истечении времени t=1 ч - ∆n₂=92 импуль­са. Определить постоянную радиоактивного распада λ и период полураспада T_1/2 изотопа.

Решение. Число импульсов ∆n, регистрируемых счетчиком за время ∆t, пропорционально числу распавшихся атомов ∆N.

Таким образом, при первом измерении

, (1)

где N₁— количество радиоактивных атомов к моменту начала от­счета; k — коэффициент пропорциональности (постоянный для данного прибора и данного расположения прибора относительно радиоактивного изотопа).

При повторном измерении (предполагается, что расположение приборов осталось прежним)

, (2)

где N₂— количество радиоактивных атомов к моменту начала вто­рого измерения.

Разделив соотношение (1) на выражение (2) и приняв во внима­ние, что по условию задачи ∆t одинаково в обоих случаях, а также что N₁ и N₂. связаны между собой соотношением N₂ = N_{1 ∙}e^-λt, по­лучим

(3)

где t — время, прошедшее от первого до второго измерения. Для вы­числения l выражение (3) следует прологарифмировать: ln(∆n₁/∆n₂)=λ∙t, откуда

.

Подставив числовые данные, получим постоянную радиоактив­ного распада, а затем и период полураcпада:

λ = (1/1)×ln(250/92)ч^-1 = 1ч^-1;

T_1/2 = ln2/λ = 0,693/1 = 0,693ч = 41,5 мин.