Статистические распределения

· Распределение Больцмана (распределение частиц в силовом поле)

,

где п — концентрация частиц; U— их потенциальная энергия; n₀ — концентрация частиц в точках поля, гдеU=0;k=1,38∙10^-23 Дж/К — постоян­ная Больцмана; T — термодинамическая температура.

· Барометрическая формула (распределение давления в одно­родном поле силы тяжести)

, или,

где р — давление газа; m — масса частицы; М — молярная масса; z — координата (высота) точки по отношению к уровню, принятому за нулевой; р₀ — давление на этом уровне; g — ускорение свобод­ного падения; R=8,31 Дж/(моль∙К) — молярная газовая постоянная.

· Вероятность того, что физическая величина х, характери­зующая молекулу, лежит в интервале значений от х до x+dx, определяется по формуле

,

где f(x)—функция распределения молекул по значениям данной физической величины х (плотность вероятности).

· Количество молекул, для которых физическая величина х, характеризующая их, заключена в интервале значений от х до x+dx,

.

· Распределение Максвелла (распределение молекул по ско­ростям) выражается двумя соотношениями:

а) число молекул, скорости которых заключены в пределах от J до J+dJ,

,

где f(υ) —функция распределения молекул по модулям скоростей, выражающая отношение вероятности того, что скорость молекулы лежит в интервале отυ до υ+dυ, к величине этого интервала, а также долю числа молекул, скорости которых лежат в указанном интервале;N — общее число молекул; m — масса молекулы;

б) число молекул, относительные скорости которых заключены в пределах от u до u+du,

где u=υ/υ_в — относительная скорость, равная отношению скорости J к наивероятнейшей скорости υ_в; f(u) — функция распределения по относительным скоростям.

· Распределение молекул по импульсам. Число молекул, им­пульсы которых заключены в пределах от р до p+dp,

,

где f(p) — функция распределения по импульсам.

· Распределение молекул по энергиям. Число молекул, энер­гии которых заключены в интервале от eдо e+de,

,

где f(e)—функция распределения по энергиям.

· Среднее значение физической величины х в общем случае

,

а в том случае, если функция распределения нормирована на еди­ницу,

<x>=òx∙f(x)dx

где f(x) — функция распределения, интегрирование ведется по всей совокупности изменений величины х.

Например, среднее значение скорости молекулы (т. е. средняя арифметическая скорость)

;

средняя квадратичная скорость

<υ_кв>=<υ²>^1/2,

где

;

средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы .