Примеры решения задач

Пример 1.Два параллельных бесконечно длинных провода, по которым текут в одном направлении токи I=60 А, расположены на расстоянии d=10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию В в точке, отстоящей от одного про­водника на расстоянии r₁=5 см и от другого — на расстоянии r₂=12 см.

 

Решение. Для нахождения магнитной индукции в указанной точ­ке А (рис.47) определим

Рис. 47 направле­ния векторов индукций В₁ и В₂ по лей, создаваемых каждым проводни­ком в отдельности, и сложим их геометрически, т. е. B=B₁+B₂.Модуль индукции найдем по теоре­ме косинусов:

Значения индукций Biи В₂ выражаются соответственно через силу тока I и расстояния r₁ и r₂ от провода до точки, индукциюв которой мы вычисляем:

,

Подставляя B₁иВ₂в формулу (1) и вынося за знак корня, получим

. (2)

Здесь мы воспользовались определяющей формулой для маг­нитной индукции (В=М_mак /р_п).

Вычисляем cosa. Заметим, что a=/_DAC. Поэтому по теореме косинусов запишем

,

где d— расстояние между проводами. Отсюда

.

Подставив данные, вычислим значение косинуса: cosa= 0,576.

Подставив в формулу (2) значения m₀, I, r₁, r₂ и cosb, найдем

В=286 мкТл.

Пример 2. По двум длинным прямолинейным проводам, находя­щимся на расстоянии r=5 см друг от друга в воздухе, текут токиI=10 А каждый. Определить магнитную индукциюВ поля, создаваемого то­ками в точке, лежащей по­середине между проводами, для случаев: 1) провода параллельны, токи текут в одном направлении (рис. 48, а); 2) провода параллельны­,токи текут в про­тивоположных направле­ниях (рис. 48, б); 3) про­вода перпендикулярны, на­правление токов указано на рис. 48, в.

Рис. 48

Решение:Результирующаяиндукция магнитного поля равнавекторной сумме: B=B₁+B₂, где B₁ — индукция поля,создаваемого током 1₁;В₂ — индукция поля создаваемого током I₂.

Если B₁и В₂ направлены по одной прямой, то векторная сумма может быть заменена алгебраической суммой:

В=В₁+В₂.(1)

При этом слагаемые В₁и В₂должны быть взяты с соответствую­щими знаками.В данной задаче во всех трех случаях модули индукций В₁и В₂ одинаковы, так как точки выбраны на равных расстояниях от про­водов, по которым текут равные токи. Вычислим эти индукции по формуле

. (2)

Подставив значения величин в формулу (2), найдем модули В₁ и В₂:

В₁=В₂=80 мкТл.

1-й случай. Векторы B₁ и В₂ направлены по одной прямой (рис . 48, а); следовательно, результирующая индукция В опреде­ляется по формуле (1). Приняв направление вверх положительным, вниз — отрицательным, запишем: В₁= - 80 мкТл, В₂=80 мкТл.

Подставив в формулу (1) эти значения В₁и B₂, получим

В=В₁+В₂=0.

2-й случай. Векторы В₁ и В₂ направлены по одной прямой в одну сторону (рис. 48, б). Поэтому можем за­писать

В₁=В₂= – 80 мкТл.

Подставив в формулу (1) значения B₁ и В₂ получим

В=В₁+В₂=–160 мкТл.

3-й случай. Векторы индукций магнит­ных полей, создаваемых токами в точке, лежащей посередине между проводами, взаимно перпендикулярны (рис. 48, в). Результирующая индукция по модулю и направлению является диагональю квадра­та, построенного на векторах В₁ и В₂. По теореме Пифагора найдем

(3)

Подставив в формулу (3) значения В₁и В₂, получим B =113 мкТл.

Пример 3. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемо­го отрезком бесконечно длинного прямого провода, в точке, равно­удаленной от концов отрезка и находящейся на расстоянии r₀=20см от середины его (рис. 49). Сила тока I, текущего по про­воду, равна 30 А, длина l отрезка равна 60 см.

Решение. Для определения магнитной индукции поля, соз­даваемого отрезком провода, воспользуемся законом Био -Савара-Лапласа: dB dl (1)

Прежде чем интегрировать выражение (1), Рис. 49

преобразуем его так, чтобы можно было интегрировать по углу a. Выразим длину элементаdl проводника через da. Согласно рис. 49, запишем

.

 

Подставим это выражение dl в формулу (1):

dB

Но r — величина переменная, зависящая от a и равная . Подставив rв предыдущую формулу, найдем

(2)

Чтобы определить магнитную индукцию поля, создаваемого от­резком проводника, проинтегрируем выражение (2) в пределах от a₁ до a₂:

(3)

Заметим, что при симметричном расположении точки A относитель­но отрезка провода cosa₂= – cosa₁. С учетом этого формула (3) примет вид

.

Из рис. 49 следует

Подставиввыражение cosa₁ в формулу (4), получим

∙ .

Подставим числовые значения в формулу (5) и произведем вы­числения:

Пример 4. Длинный провод с током I=50 А изогнут под углом a=2p/3. Определить магнитную индукцию В в точке А (рис. 50). Расстояние d=5 см.

Решение. Изогнутый провод можно рассматривать как два длинных провода, концы которых соединены в точке О. В соответ­ствии с принципом суперпозиции магнитных полей магнитная ин­дукция В в точке А будет равна геометрической сумме магнитных индукций B₁и В₂полей, создаваемых отрезками длинных проводов 1 и 2,т. е. В = В₁+В₂. Магнитная индукция В₂ равна нулю. Это следует из закона Био — Савара — Лапласа, согласно которому в точках, лежащих на оси проводника, dВ=0([dl,r]=0).

Магнитную индукцию В₁найдем, воспользовавшись формулой (3), полученной в примере 3:

,

где r₀— кратчайшее расстояние от проводника 1до точки А (рис. 51)

В нашем случае α₁→0 (проводник длинный), α₂=α==2π/3 (cos α₂=cos (2π/3))=–½. Расстояние r₀=dsin (π−α)= dsin(π/3)= . Тогда магнитная индукция

Так как В=В₁(В₂=0), то

.

Вектор В сонаправлен с вектором В₁ и определяется правилом правого винта. На рис. 51 это направление отмечено значком X (перпендикулярно плоскости чертежа от нас).

 

Рис. 50 Рис. 51

Произведем вычисления:

Пример 5.По тонкому проводящему кольцу радиусом R = 10 см течет ток I=80 А. Найти магнитную индукцию В в точке A, равно­удаленной от всех точек кольца на расстояние г=20 см.

Решение. Для решения задачи воспользуемся законом Био — Савара — Лапласа:

dB [dl,r] ,

 

где dB —магнитная индукция поля, создаваемого элементом тока Idl в точке, определяемой радиус-вектором r.

 

Рис. 52

Выделим на кольце элемент dl и от него в точку А проведем радиус-вектор г (рис. 52). Вектор dB направим в соответствии с правилом буравчика.

Согласно принципу суперпозиции магнитных полей, магнитная индукции Вв точке А определяется интегралом

где интегрирование ведется по всем элементам dI кольца Разложим вектор dBна две составляющие: dB_┴ – перпендикулярную плоскости кольца и dB_║ — параллельную плоскости кольца, т. е.

dB=dB_^+dB_½½. Тогда

Заметив, что из соображений симметрии и что векторы dB_┴от различных элементов dI сонаправлены, заменим векторное суммирование, заменим векторное суммирование (интегрирование) скалярным:

,

где ( поскольку dIперпендикулярен rи, следовательно, sina=1). Таким образом,

После сокращения на 2π и замены cos β на R/r (рис. 52)

.

Выразим все величины в единицах СИ, произведем вычисления:

или

Вектор Внаправлен на осикольца (пунктирная стрелка на рис. 52) в соответствии с правилом буравчика.

Пример 6.бесконечно длинный проводник изогнут так, как это изображено на рис. 53. Радиус дуги окружности R=10 см. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого в токе О током I=80 A, текущим по этому проводнику.

Решение. Магнитную индукцию В в точке О найдем, используя принцип суперпозиции магнитных полей В=∑В_i. В на­шем случае проводник можно разбить на три части (рис. 54) два прямолинейных проводника (1 и 3), одним концом уходящие в бесконечность, и дугу полуокружности (2) радиуса R. Тогда

B=B₁+B₂+B₃

где B₁, В₂и В₃ — магнитные индукции поля в точке О, создавае­мые током, текущим соответственно на первом, втором и третьем участках проводника.

 

 

Рис. 53 Рис. 54

 

Так как точка О лежит на оси проводника 1, то В₁=0и тогда

B=B₂+B₃

Учитывая, что векторы В₂ и В₃направлены в соответствии с пра­вилом буравчика перпендикулярно плоскости чертежа от нас, гео­метрическое суммирование можно заменить алгебраическим:

В=В₂+В₃.

Магнитную индукцию поля В₂можно найти, используя выраже­ние для магнитной индукции в центре кругового проводника с то­ком I:

.

Так как магнитная индукция В₂создается в точке О половиной такого кругового проводника с током, то, учитывая равный вклад в магнитную индукцию от каждой половинки проводника, можно написать

.

Магнитную индукцию В₃найдем, используя формулу (3) при­мера 3:

В нашем случае

Тогда

Используя найденные выражения для В₂и В₃получим

,

или

Произведем вычисления:

Пример 7.По двум параллельным прямым проводам длиной l=2,5 м каждый, находящимся на расстоянии d=20см друг от дру­га, текут одинаковые токи I=1 кА. Вычислить силу Fвзаимодей­ствия токов.

Решение. Взаимодействие двух проводников, по которым текут токи, осуществляется через магнитное поле. Каждый ток соз­дает магнитное поле, которое действует на другой проводник. Пред­положим, что оба тока (обозначим их 1_ги I₂) текут в одном направ­лении.

Вычислим силу F₁,₂, с которой магнитное поле, созданное током I₁, действует на проводник с током I₂. Для этого проведем магнит­ную силовую линию так (штриховая линия на рис. 55), чтобы она касалась проводника с током I₂. По касательной к силовой линии проведем вектор магнитной индукции В₁. Модуль магнитной индук­ции B₁определяется соотношением

(1)

Согласно закону Ампера, на каждый элемент второго проводника с током I₂ длиной dl₂ действует в магнитном поле сила

Так как отрезок dlперпендикулярен вектору B₁,то

и тогда

(2)

 

Подставив в выражение (2) В₁из (1), получим

 

Рис. 55

Силу F_1,2 взаимодействия проводников с током найдем интегрированием по всей длине второго проводника;

Заметив, что I₁=I₂=I и l₂=l, получим

.

Произведем вычисления:

Сила F₁,₂ сонаправлена с силой dF₁,₂ (рис. 55) и определяется (в данном случае это проще) правилом левой руки.

Пример 8.Провод в виде тонкого полукольца радиусом R=10 см находится в однородном магнитном поле (B=50 мТл). По проводу течет ток I=10 А. Найти силу F, действующую на провод, если плоскость полукольца перпендикулярна линиям магнитной индукции, а подводя­щие провода находятся вне поля.

Решение. Распо­ложим провод в плоско­сти чертежа перпенди­кулярно линиям маг­нитной индукции (рис. 56) и выделим на нем малый элемент dl с то­ком.

 

 

Рис. 56

На этот элемент тока Idl будет действо­вать по закону Ампера сила dF=I[dlB]. Направление этой силы можно определить по правилу векторного произведения или по правилу левой руки.

Используя симметрию, выберем координатные оси так, как это изображено на рис. 11. Силу dF представим в виде

где i и j — единичные векторы (орты); dF_xи dF_y — проекции векто­ра dF на координатные оси Ох и Оу.

Силу F, действующую на весь провод, найдем интегрированием:

где символ Lуказывает на то, что интегрирование ведется по всей длине провода L.

Из соображений симметрии первый интеграл равен нулю

тогда

(1)

Из рис. 56 следует, что

где dF— модуль вектораdF Так как векторdlперпендикулярен вектору , то .Вы­разив длину дуги dlчерез радиус Rиугол α, получим

.

Тогда

.

Введем dF_yпод интеграл соотношения (1) и проинтегрируем в пре­делах от -π/2 до +π/2 (как это следует из рис. 56):

.

Из полученного выражения видно, что сила F сонаправлена с положительным направлением оси Оу (единичным вектором j).

Найдем модуль силы F:

.

Произведем вычисления:

Пример 9.На проволочный виток радиусом г=10см, помещен­ный между полюсами магнита, действует максимальный механиче­ский момент М_max=6,5 мкН. Сила тока I в витке равна 2А. Опреде­лить магнитную индукцию Вполя между полюсами магнита. Дей­ствием магнитного поля Земли пренебречь.

Решение. Индукцию Вмагнитного поля можно определить из выражения механического момента, действующего на виток с то­ком в магнитном поле,

(1)

Если учесть, что максимальное значение механический момент принимает при α=π/2(sin α=l), а также что p_m=I∙S, то формула (1) примет вид

.

Отсюда, учитывая, что S=π∙r², находим

. (2)

Произведя вычисления по формуле (2), найдем

В=104 мкТл.

Пример 10.Квадратная рамка со стороной длиной а=2см, содер­жащая N=100 витков тонкого провода, подвешена на упругой нити, постоянная кручения С которой равна 10 мкН·м/град. Плоскость рамки совпадает с направлением линии индукции внешнего магнит­ного поля. Определить индукцию внешнего магнитного поля, если при пропускании по рамке тока I=1А она повернулась на угол α=60°.

Рис. 57

Решение. Индукция В внешнего поля может быть найдена из условия равновесия рамки в поле. Рамка будет находиться в рав­новесии, если сумма механических моментов, действующих на нее, будет равна нулю:

.

В данном случае на рамку действуют два момента (рис. 57): M₁— момент сил, с которым внешнее магнитное поле действует на рамку с током, и М₂ — момент упругих сил, возникающих при за­кручивании нити, на которой рамка подвешена.

Следовательно,формула (1) может быть переписана в виде

M₁ + M₂=0

Выразив М₁и М₂в этом равенстве через величины, от которых зависят мо­менты сил, получим

.(2)

Знак минус перед моментом М₂ста­вится потому, что этот момент противо­положен по направлению моменту M₁.

Если учесть, что p_m=I∙S∙N=I∙a^2∙N, где I — сила тока в рамке; S=a² — площадь рамки; N — число ее витков, равенство (2) перепишем в виде

откуда

(3)

Из рис. 57 видно, что α=π/2—φ, значит, sinα=cos φ. С учетом этого равенство (3) примет вид

(4)

Значение постоянной кручения С, рассчитанной на градус (а не радиан, как это следовало бы выразить в СИ), запишем в виде

так как значение угла φ также дано в градусах.

Подставим данные в формулу (4) и произведем вычисления:

Пример 11. Плоский квадратный контур со стороной длиной а = 10 см, по которому течет ток I= 100 А, свободно установился в од­нородном магнитном поле индукцией В=1Тл. Определить работу A, совершаемую внешними силами при повороте контура относи­тельно оси, проходящей через середину его противоположных сто­рон, на угол: 1) φ₁=90°; 2) φ₂= 3⁰. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Решение. На контур с током в магнитном поле действует механический момент

.(1)

По условию задачи, в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент сил равен нулю

(М=0), а значит φ=0, т. е. векторы р_m и В совпадают по направле­нию.

Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил, определяемый формулой (1), будет стремить­ся возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменный (зависит от угла φ поворота), то для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме

dA=M∙dj (2)

Подставив сюда выражение М по формуле (1) и учтя, что р_т= I∙S=I∙a², где I — сила тока в контуре, S=a² — площадь контура, получим

.

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол:

.(3)

1. Работа при повороте на угол φ₁=90⁰

.(4)

 

После вычисления по формуле (4) найдем A₁=l Дж.

2. Работа при повороте на угол ф₂=3°. В этом случае, учитывая, что угол ф₂ мал, заменим в выражении (3) sin φ на φ:

(5)

Выразим угол φ₂ в радианах (см. табл. 9)

φ₂=3⁰=3·l,75·10^-2 рад=0,0525 рад.

После подстановки значений I, В, а и φ₂ в формулу (5) получим А₂=1,37 мДж.

 

Пример 12.Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциа­лов U=400 В, попал воднородное магнитное поле с индукцией B=1,5 мТл. Определить: 1) радиус Rкривизны траектории; 2)ча­стоту пвращения электрона вмагнитном поле. Вектор скорости электрона перпендикулярен линиям индукции.

Решение.1. Радиус кривизны траектории электрона опре­делим, исходя из следующих соображений: на движущийся в маг­нитном поле электрон действует сила Лоренца F. (Действием силы тяжести можно пренебречь.) Вектор силы Лоренца перпендикуля­рен вектору скорости и, следовательно, по второму закону Ньютона, сообщает электрону нормальное ускорение а_n : F=m∙a_n. Подставив сюда выражения Fи а_n, получим

, (1)

где е, u, т — заряд, скорость, масса электрона; В — индукция маг­нитного поля; R — радиус кривизны траектории; a — угол между направлениями векторов скорости υ и индукции В (в нашем случае υ^Bи a = 90°, sina =l).

Из формулы (1) найдем

(2)

Входящий в выражение (2) импульс muвыразим через кинетическую энергию Т электрона:

(3)

Но кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, определяется равенством Т= |e|∙U. Подставив это выражение Т в формулу (3), получим

Тогда выражение (2) для радиуса кривизны приобретает вид

(4)

 

После вычисления по формуле (4) найдемR=45 мм.

2. Для определения частоты вращения воспользуемся формулой связывающей частоту со скоростью и радиусом кривизны траектории,

Подставив Rиз выражения (2) в эту формулу, получим

.

Произведя вычисления, найдем n=4,20 × 10⁷c^-1 .

Пример 13.Электрон, имея скорость u=2 Мм/с, влетел воднородное магнитное поле с индукцией В=30 мТл под углом a=30° к направлению линий индукции. Определить радиус Rи шаг hвинтовой линии, покоторой будет двигаться электрон.

Решение. Известно, что на заряженную частицу, влетевшую в магнитное поле, действует сила Лоренца, перпендикулярная векторам магнитной индукции Ви скорости υчастицы:

F=Q∙u∙B∙sina, (1)

где Q— заряд частицы.

В случае, если частицей является электрон, формулу (1) можно записать в виде

F= |e|∙u∙B∙sina.

Так как вектор силы Лоренца перпендикулярен вектору скоро­сти, то модуль скорости не будет изменяться под действием этой силы. Но при постоянной скорости, как это следует из формулы (1), останется постоянным и значение силы Лоренца. Из механики известно, что постоянная си­ла, перпендикулярная скоро­сти, вызывает Рис. 58

движение по окружности. Следовательно, электрон, влетевший в маг­нитное поле, будет двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной линиям индукции, со скоростью, рав­ной поперечной составляю­щей u₁скорости (рис. 58); одновременно он будет дви­гаться и вдоль поля со ско­ростью u_||:

u_|| = u∙sina, u_|| = u∙cosa.

В результате одновременного участия в движениях по окружно­сти и по прямой электрон будет двигаться по винтовой линии.

Радиус окружности, по которой движется электрон, найдем сле­дующим образом. Сила Лоренца Fсообщает электрону нормальное ускорение а_п. По второму закону Ньютона, F=m∙a_n, где F=|e|∙uBи a_n=u² /R,. Тогда

,

откуда после сокращения на u_zнаходим радиус винтовой линии:

.

Подставив значения величин т, u, e, В и a и произведя вычисле­ния, получим

R=0,19 мм.

Шаг винтовой линии равен пути, пройденному электроном вдоль поля со скоростью u_xзавремя, которое понадобится электрону для того, чтобы совершить один оборот,

h =u_||∙T(2)

где T=2p∙R/u_^— период вращения электрона. Подставив это выра­жение для Т в формулу (2), найдем

Подставив в эту формулу значения величин p, Rи a и вычислив, получим

h=2,06 мм.

Пример 14.Электрон движется воднородном магнитном поле с индукцией В=0,03 Тл поокружности радиусом r=10см. Опреде­лить скорость uэлектрона.

Решение. Движение электрона по окружности в однородном магнитном поле совершается под действием силы Лоренца (см. примеры 1 и 2). Поэтому можно написать

, (1)

откуда найдем импульс электрона:

р=т∙u=|е|∙В∙r. (2)

Релятивистский импульс выражается формулой

.

Выполнив преобразования, получим следующую формулу для определения скорости частицы:

. (3)

В данном случае р= е∙B∙r. Следовательно,

.

В числитель и знаменатель формулы (4) входит выражение е∙В∙r/т∙с. Вычислим его отдельно:

е∙В∙r/ (m∙c) = 1,76.

Подставив найденное значениев формулу (4), получим

b= 0,871, или u = с∙b= 2,61∙10⁸ м/с.

Электрон, обладающий такой скоростью, является релятивистским.

Пример 15.Альфа-частица прошла ускоряющую разность потенциалов U=104 В и влетела в скрещенные под прямым углом электрическое (E=10 кВ/м) и магнитное (B=0,1 Тл) поля. Найти отношение заряда альфа-частицы к ее массе, если, двигаясь перпендикулярно обоим полям, частица не испытывает отклонений от прямолинейной траектории.

Решение. Для того чтобы найти отношение заряда Q альфа-частицы к ее массе m, воспользуемся связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии частиц:

,

откуда

. (1)

Скорость uальфа-частицы найдем из следующих соображений. В скрещенных электрическом и магнитном полях на движущуюся заряженную частицу действуют две силы:

а) сила Лоренца , направленная перпендикулярно скорости v и вектору магнитной индукции В;

б) кулоновская сила , сонаправленная с вектором напряженности Е электростатического поля (Q>0).

Сделаем рисунок с изображением координатных осей и векторных

величин. Направим вектор магнитной индукции В вдоль оси О_z (рис. 59), скорость υ—в положительном направлении оси Ох, тогда F_л и F_kбудут направлены так, как это указано на ри­сунке.

Альфа-частица не будет испытывать отклонения, если геометри­ческая сумма сил F_л+F_k будет равна нулю. В проекции на ось

Рис. 59

Оу получим следующее равенство (при этом учтено, что вектор ско­рости v перпендикулярен вектору магнитной индукции В и sin (υ^ÙB)=l):

Q∙E—Q∙u∙B = O,

откуда

u =E/B.

Подставив это выражение скорости в формулу (1), получим

.

 

Произведем вычисления:

Пример 16. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по которому течет токI=50 А, расположена прямоуголь­ная рамка так, что две большие стороны ее длиной l=65 см парал­лельны проводу, а расстояние от провода до ближайшей из этих сторон равно ее ширине. Каков магнитный поток Ф, пронизываю­щий рамку?

Решение. Магнитный поток Ф через поверхность площадью S определяется выражением

Рис. 60

В нашем случае вектор магнитной индукции В перпендикулярен плоскости рамки. Поэтому для всех точек рамки В_n=В. Магнитная индукция В, создаваемая бесконечно длинным прямым проводником с током, определяется формулой

,

где x— расстояние от провода до точки, в которой определяется В.

Для вычисления магнитного потока заметим, что так как В зависит от х и элементарный поток Ф будет также за­висеть от х, то

dФ=B(x)dS.

Разобьем площадь рамки на узкие элементарные площадки длиной l, шири­ной dx и площадью dS=ldx (рис. 60). В пределах этой площадки магнитную индукцию можно считать постоянной, так как все части площад­ки равноудалены (на расстояние х) от провода. С учетом сделанных замечаний элементарный магнитный поток можно записать в виде

dФ=

Проинтегрировав полученное выражение в пределах от x₁=a до х₂=2а, найдем

|_p^2p.

Подставив пределы, получим

Произведя вычисления по формуле (1), найдем

Ф=4,5 мкВб.

Пример 17. Определить индукцию В и напряженность Н магнит­ного поля на оси тороида без сердечника, по обмотке которого, со­держащей N=200 витков, идет ток I=5 А. Внешний диаметр d₁тороида равен 30 см, внутренний d₂= 20 см.

Решение. Для определения напряженности магнитного поля внутри тороида вычислим циркуляцию вектора Н вдоль линии маг­нитной индукции поля:

Из условия симметрии следует, что линии магнитной индукции тороида представляют собой окружности и что во всех точках этой линии напряженности одинаковы. Поэтому в выражении циркуля­ции напряженность Н можно вынести за знак интеграла, а интегри­рование проводить в пределах от нуля до 2p∙r, где r — радиус ок­ружности, совпадающей с линией индукции, вдоль которой вычис­ляется циркуляция,

(1)

С другой стороны, в соответствии с законом полного тока цир­куляция вектора напряженности магнитного поля равна сумме то­ков, охватываемых контуром, вдоль которого вычисляется цирку­ляция:

(2)

Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим

(3)

Линия, проходящая вдоль тороида, охватывает число токов, равное числу витков тороида. Сила тока во всех витках одинакова. Поэтому формула (3) примет вид 2p∙r∙H=N∙I, откуда

(4)

Для средней линии тороида r=1/2(R_{1 +} R₂)=1/4(d₁+d₂). Подставив это выражение r в формулу (4), найдем

(5)

Магнитная индукция В₀в вакууме связана с напряженностью поля соотношением B₀=m₀H. Следовательно,

(6)

Подставив значения величин в выражения (5) и (6), получим:

H=1,37 кА/м, B₀=1,6 мТл.

Пример 18. Виток, по которому течет ток I=20 А, свободно уста­новится в однородном магнитном поле В=16 мТл. Диаметр d витка равен 10 см. Какую работу нужно совершать, чтобы медленно по­вернуть виток на угол a=p/2 относительно оси, совпадающей с диа­метром?

Решение. При медленном повороте контура в магнитном поле индукционными токами можно пренебречь и считать ток в контуренеизменным. Работа сил поля в этом случае определяется выраже­нием

,

где Ф₁ и Ф₂ — магнитные потоки, пронизывающие контур в началь­ном и конечном положениях.

Работа внешних сил будет равна модулю работе сил поля и про­тивоположна ей по знаку, т. е.

(1)

Так как в начальном положении контур установился свободно (по­ложение устойчивого равновесия), то момент внешних сил, действующий на контур, равен нулю. В этом положении вектор

Рис. 61

магнитного мо­мента p_m контура сонаправлен с вектором В (рис. 61, а) и магнит­ный поток Ф₁ максима­лен (a=0, cosa=1), т. е. Ф₁=В∙S (где S — площадь контура).

В ко­нечном положении (рис. 61, б) вектор p_m перпендикулярен вектору B(a=p/2, cosa=0) и маг­нитный поток Ф₂=0. Перепишем выражение (1) с учетом сделан­ных замечаний:

.

Так как площадь контура S=p∙d²/4. то работа

.

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу работы (Дж):

Произведем вычисления:

Пример 19. В однородном магнитном поле с индукцией B=0,1 Тл равномерно вращается рамка, содержащая N= 1000 витков, с часто­той n=1c^-1. Площадь S рамки равна 150 см². Определить мгновен­ное значение ЭДС, соответствующее углу поворота рамки 30°.

Решение. Мгновенное значение ЭДС индукции, определя­ется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея — Максвелла:

. (1)

Потокосцепление Y=N∙Ф, где N — число витков, пронизывае­мых магнитным потоком Ф. Подставив выражение Y в формулу (1),получим

. (2)

При вращении рамки магнитный поток Ф, пронизывающий рам­ку в момент времени t, изменяется по закону Ф=В∙S∙coswt, где В — магнитная индукция; S — площадь рамки; w— угловая частота. Подставив в формулу (2) выражение Ф и продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции:

. (3)

Угловая частота со связана с частотой п вращения соотношением w=2p∙п. Подставив выражение со в формулу (3) и заменив wt на угол a, получим

. (4)

Произведя вычисления по формуле (4), найдем

Пример. 20. По соленоиду течет ток I=2 А. Магнитный поток Ф, пронизывающий поперечное сечение соленоида, равен 4 мкВб. Оп­ределить индуктивность L соленоида, если он имеет N=800 витков.

Решение. Индуктивность L соленоида связана с потокосцеплением Y соотношением Y=L∙I, откуда L=Y/I. Заменив здесь потокосцепление Y его выражением через магнитный поток Ф и число витков N соленоида (Y=Ф∙N), получим

(1)

Произведя вычисления по формуле (1), получим

L= 1,6 мГн.

Пример 21. При скорости изменения силы тока DI/Dt в соле­ноиде, равной 50 А/с, на его концах возникает ЭДС самоиндук­ции 0,08 В. Определить индуктивность L соленоида.

Решение. Индуктивность соленоида связана с ЭДС само­индукции и скоростью изменения силы тока в его обмотке соотноше­нием

.

 

Вынося постоянную величину L за знак приращения, получим

.

Опустив знак минус в этом равенстве (направление ЭДС в данном случае несущественно) и выразив интересующую нас величину — индуктивность, получим

.

Сделав вычисления по этой формуле, найдем

L=1,6 мГн.

Пример 22. Обмотка соленоида состоит из одного слоя плотно прилегающих друг к другу витков медного провода диаметром d=0,2 мм. Диаметр D соленоида равен 5 см. По соленоиду течет ток I=1 А. Определить количество электричества Q, протекающее через обмотку, если концы ее замкнуть накоротко. Толщиной изо­ляции пренебречь.

Решение. Возможны два способа решения, 1-й способ. Ко­личество электричества dQ, которое протекает по проводнику за время dt при силе тока I, определяется равенством

. (1)

Полное количество электричества, протекающее через проводник за время t, будет . Сила тока в данном случае убывает экспоненциально со временем и выражается формулой

.

Внося выражение силы тока I под знак интеграла и интегрируя от 0 до ¥ (при t®¥I®0), получим

.

Подставим пределы интегрирования и определим количество электричества, протекающее через обмотку:

. (2)

2-й способ. Подставив в формулу (1) вместо силы тока I выраже­ние ее через ЭДС индукции , и сопротивление R соленоида, т. е.

, найдем .

Но связана со скоростью изменения потокосцепления Y по закону Фарадея —Максвелла , тогда

.

Интегрируя, получаем

. (3)

Потокосцепление Y пропорционально силе тока в соленоиде. Следовательно, Y₁=LI₀; Y₂=0, так как Y₂ соответствует тому мо­менту, когда ток в цепи обратится в нуль. Подставив выражения Y₁ и Y₂ в формулу (3), получим Q=Y₁/R, или

,

что совпадает с формулой (2). Для определения заряда, протекающего через обмотку соленои­да, следует найти индуктивность L соленоида и сопротивление Rобмотки соленоида, которые выражаются формулами

, ,

где m₀— магнитная постоянная; N — число витков; l₁ — длина соленоида; S₁ — площадь сечения соленоида; r — удельное сопро­тивление провода; l—длина провода; S—площадь сечения про­вода; d—диаметр провода; d₁—диаметр соленоида.

Подставив найденные выражения L и R в формулу (2), получим

.

Заметим, что длина провода l может быть выражена через диа­метр d₁ соленоида соотношением l=p∙d₁N, где N — число витков, тогда формуле (4) можно придать вид

.

Но l₁/N есть диаметр провода, так как витки плотно прилегают друг к другу. Следовательно,

.

Произведя вычисления по формуле (5), получим

Q=363 мкКл.

Пример 23. На стержень из немагнитного материала длиной l=50 см намотан в один слой провод так, что на каждый сантиметр длины стержня приходится 20 витков. Определить энергию W маг­нитного поля внутри соленоида, если сила тока I в обмотке равна 0,5 А. Площадь S сечения стержня равна 2 см².

Решение. Энергия магнитного поля соленоида с индуктив­ностью L, по обмотке которого течет токI, выражается формулой

. (1)

Индуктивность соленоида в случае немагнитного сердечника за­висит только от числа витков на единицу длины и от объема V сер­дечника: L=μ₀n²V, где μ₀ —магнитная постоянная. Подставив вы­ражение индуктивности L в формулу (1), получим . Учтя, что V=l∙S, запишем

. (2)

Сделав вычисления по формуле (2), найдем

W=126 мкДж.

Пример 24. По обмотке длинного соленоида со стальным сердеч­ником течет ток I=2А. Определить объемную плотность ω энергии магнитного поля в сердечнике, если число п витков на каждом сан­тиметре длины соленоида равно 7 см^-1.

Решение. Объемная плотность энергии магнитного поля оп­ределяется по формуле

. (1)

Напряженность Н магнитного поля найдем по формуле H=n∙l. Подставив сюда значения п (п =7 см^-1=700 м^-1) и I, найдем

H=1400 А/м.

Магнитную индукцию В определим по графику (рис. 18) зависимости В от Н. Находим, что напряженности H=1400 А/м со­ответствует магнитная индукция B=1,2 Тл.

Произведя вычисление по формуле (1), найдем объемную плот­ность энергии:

ω=840 Дж/м³.

Пример 25. Колебательный контур, состоящий из воздушного кон­денсатора с двумя пластинами площадью S=100 см² каждая и катушки с индуктивностью L=l мкГн, резонирует на волну длиной λ=10 м. Определить расстояние d между пластинами конденсатора.

Решение. Расстояние между пластинами конденсатора мож­но найти из формулы электроемкости плоского конденсатора

,

где ε — диэлектрическая проницаемость среды, заполняю­щей конденсатор, откуда

. (1)

Из формулы Томсона, определяющей период колебаний в элек­трическом контуре: , находим электроемкость

. (2)

Неизвестный в условии задачи период колебаний можно опреде­лить, зная длину волны λ, на которую резонирует контур. Из соот­ношения λ =с∙Т имеем

Т= λ /с.

Подставив выражения периода Т в формулу (2), а затем электро­емкости С в формулу (1), получим

.

Произведя вычисления, найдем d=3,14 мм.

Пример 26. Колебательный контур состоит из катушки с индук­тивностью L= 1,2 мГн и конденсатора переменной электроемкости от C₁=12 пФ до С₂=80 пФ. Определить диапазон длин электромаг­нитных волн, которые могут вызывать резонанс в этом контуре. Активное сопротивление контура принять равным нулю.

Решение. Длина λ электромагнитной волны, которая может вызвать резонанс в колебательном контуре, связана с периодом Т колебаний контура соотношением

λ =с∙Т. (1)

Период колебаний, в свою очередь, связан с индуктивностью Lкатушки и электроемкостью С конденсатора колебательного конту­ра соотношением (формула Томсона) . Следовательно,

. (2)

Согласно условию задачи, индуктивность контура неизменна, а электроемкость контура может изменяться в пределах от C₁ до C₂. Этим значениям электроемкости соответствуют длины волн λ₁ и λ₂,, определяющие диапазон длин волн, которые могут вызвать резо­нанс. После вычислений по формуле (2) получим:

λ₁=226м; λ₂=585 м.

 

Задачи

241. Бесконечно длинный провод с током I= 100 А изогнут так, как показано на рис. 62. Определить магнитную индукцию В в точке О. Радиус дуги R=10 см.

 

 

242. Магнитный момент p_m тонкого проводящего кольца p_m=5A∙м². Определить магнитную индукцию Вв точке А, находящиеся на оси кольца и удаленной от точек кольца на расстояние r=20 см (рис. 63).

243. По двум скрещенным под прямым углом бесконечно длинным проводам текут токи I и 2I(I=100A). Определить магнитную индукцию В в точке А(рис. 64). Расстояниеd=10см.

244. По бесконечно длинному проводу, изогнутому так, как это показано на рисунке 65, течет ток I=200 A. Определить магнитную индукцию В в точке О. Радиус дуги R=10 см.

245. По тонкому кольцу радиусом R=20см течет ток I=100A. Определить магнитную индукцию В на оси кольца в точке А (рис. 66). Угол β=π/3.

246. По двум бесконечно длинным проводам, скрещенным под прямым углом, текут токи I₁иI₂=2I₁ (I₁=100 А). Определить магнитную индукцию Вв точке А, равноудаленной от проводов на расстояние d =10см (рис. 67).

247. По бесконечно длинному проводу, изогнутому так, как это показано на рис. 68, течет ток I=200 A. Определить магнитную индукцию В в точке О. Радиус дуги R=10 см.

248. По тонкому кольцу радиусом течет ток I=80A. Определить магнитную индукцию В на оси кольца в точке А, равноудаленной от точек кольца на расстояние r=10 см (рис. 69). Угол α =π/6.

249. По двум бесконечно длинным, прямым параллельным проводам текут одинаковые токи I=60A. Определить магнитную индукцию В в точке А, равноудаленной от проводов на расстояние d=10см (рис. 70). Угол β=π/3.

250. Бесконечно длинный провод с током I=50A изогнут так, как это показано на рис. 71. Определить магнитную индукцию В в точке А, лежащей на биссектрисе прямого угла на расстоянии d=10см от его вершины.

251. По контуру в виде равностороннего треугольника идет ток I=40A. Длина стороны треугольника а=30 см. Определить магнитную индукцию В в точке пересечения высот.

252. По контуру в виде квадрата идет ток I=50A. Длина стороны квадрата а=30 см. Определить магнитную индукцию В в точке пересечения диагоналей.

253. По тонкому проводу, изогнутому в виде прямоугольника течет ток I=60A. Длина сторон прямоугольника равны а=30 сми b=40 см. Определить магнитную индукцию В в точке пересечения диагоналей.

254. Тонкий провод изогнут в виде правильного шестиугольника. Длина стороны шестиугольника d=10 см. Определить магнитную индукцию В в центре шестиугольника, если по проводу течет ток I=25 A.

255. По двум бесконечно параллельным проводам длиной l=3 м каждый текут одинаковые токи I=500A. Расстояние между проводами d=10см. Определить силу взаимодействия проводов.

256. По трем прямым параллельным проводам, находящимся на одинаковом расстоянии длиной а=10см друг от друга, текут одинаковые токи I=100A. В двух проводах направления токов совпадают. Определить силу взаимодействия, действующую на отрезок длиной l=1м каждого провода.

257. По двум тонким проводам, изогнутым в виде кольца радиусом R=10см, текут одинаковые токи I=10 A. Найти силу взаимодействия этих колец, если в плоскости, в которых лежат кольца, параллельны, а расстояние между центрами колец d=1 мм.

258. По витку радиусом R=5 см течет ток I=10 A. Чему равен магнитный момент p_m кругового тока?

259. Короткая катушка содержит N=1000 витков тонкого провода. Катушка имеет квадратное сечение со стороной а=10 см. Найти магнитный момент катушки при силе тока I=1 A.

260. Тонкое кольцо радиусом R=10см несет заряд q=10 нКл. Кольцо равномерно вращается с частотой ν=10 с^-1 относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через ее центр. Определить магнитный момент p_m, обусловленный вращением кольца.

261. Проволочный виток радиусом R=5 см находится в однородном магнитном поле напряженностью H=2 кА/м. Плоскость витка образует угол α=60^° с направлением поля. По витку течет ток силой I=4 A. Найти вращающий момент М, действующий на виток.