Применение алгоритма рассмотрим на следующем примере.
Исходные данные:объёмы реализации продукции за два сезона. В качестве исходной информации для прогнозирования была использована информация об объёмах сбыта мороженого “Пломбир” одной из фирм в Нижнем Новгороде. Данная статистика характеризуется тем, что значения объёма продаж имеют выраженный сезонный характер с возрастающим трендом. Исходная информация представлена в табл. 1.
Таблица 1.
Фактические объёмы реализации продукции
| №п.п. | Месяц | Объем продаж (руб.) | №п.п. | Месяц | Объем продаж (руб.) |
| июль | 8174,40 | июль | 8991,84 | ||
| август | 5078,33 | август | 5586,16 | ||
| сентябрь | 4507,20 | сентябрь | 4957,92 | ||
| октябрь | 2257,19 | октябрь | 2482,91 | ||
| ноябрь | 3400,69 | ноябрь | 3740,76 | ||
| декабрь | 2968,71 | декабрь | 3265,58 | ||
| январь | 2147,14 | январь | 2361,85 | ||
| февраль | 1325,56 | февраль | 1458,12 | ||
| март | 2290,95 | март | 2520,05 | ||
| апрель | 2953,34 | апрель | 3248,67 | ||
| май | 4216,28 | май | 4637,91 | ||
| июнь | 8227,569 | июнь | 9050,3264 |
Задача: составить прогноз продаж продукции на следующий год по месяцам.
Реализуем алгоритм построения прогнозной модели, описанный выше. Решение данной задачи рекомендуется осуществлять в среде MS Excel, что позволит существенно сократить количество расчётов и время построения модели.
1. Определяем тренд, наилучшим образом аппроксимирующий фактические данные. Для этого рекомендуется использовать полиномиальный тренд, что позволяет сократить ошибку прогнозной модели).
Рис. 2. Сравнительный анализ полиномиального и линейного тренда
На рисунке показано, что полиномиальный тренд аппроксимирует фактические данные гораздо лучше, чем предлагаемый обычно в литературе линейный. Коэффициент детерминации полиномиального тренда (0,7435) гораздо выше, чем линейного (4E-05). Для расчёта тренда рекомендуется использовать опцию “Линия тренда” ППП Excel.
Рис. 3. Опция “Линии тренда”
Применение других типов тренда (логарифмический, степенной, экспоненциальный, скользящее среднее) также не даёт такого эффективного результата. Они неудовлетворительно аппроксимируют фактические значения, коэффициенты их детерминации ничтожно малы:
· логарифмический R2 = 0,0166;
· степенной R2 =0,0197;
· экспоненциальный R2 =8Е-05.
2. Вычитая из фактических значений объёмов продаж значения тренда, определим величины сезонной компоненты, используя при этом пакет прикладных программ MS Excel (рис. 4).
Рис. 4. Расчёт значений сезонной компоненты в ППП MS Excel.
Таблица 2.
Расчёт значений сезонной компоненты
| Месяцы | Объём продаж | Значение тренда | Сезонная компонента |
| 8174,4 | 7617,2674 | 557,1326 | |
| 5078,3296 | 6104,0156 | -1025,686 | |
| 4507,2061 | 4420,3206 | 86,885473 | |
| 2257,1992 | 3004,1224 | -746,92323 | |
| 3400,6974 | 2086,745 | 1313,95235 | |
| 2968,7178 | 1741,0644 | 1227,65338 | |
| 2147,1426 | 1924,9246 | 222,217979 | |
| 1325,5674 | 2519,8016 | -1194,2342 | |
| 2290,9561 | 3364,7154 | -1073,7593 | |
| 2953,3411 | 4285,39 | -1332,0489 | |
| 4216,2848 | 5118,6614 | -902,37664 | |
| 8227,5695 | 5732,1336 | 2495,43589 | |
| 8991,84 | 7617,2674 | 1374,5726 | |
| 5586,1626 | 6104,0156 | -517,85304 | |
| 4957,9267 | 4420,3206 | 537,60608 | |
| 2482,9191 | 3004,1224 | -521,20332 | |
| 3740,7671 | 2086,745 | 1654,02209 | |
| 3265,5896 | 1741,0644 | 1524,52515 | |
| 2361,8568 | 1924,9246 | 436,932237 | |
| 1458,1241 | 2519,8016 | -1061,6775 | |
| 2520,0517 | 3364,7154 | -844,6637 | |
| 3248,6752 | 4285,39 | -1036,7148 | |
| 4637,9132 | 5118,6614 | -480,74817 | |
| 9050,3264 | 5732,1336 | 3318,19284 |
Скорректируем значения сезонной компоненты таким образом, чтобы их сумма была равна нулю.
| Месяцы | 1-й сезон | 2-й сезон | Итого | Среднее | Сезонная компонента |
| 557,1326 | 1374,5726 | 1931,7052 | 965,8526 | 798,7176058 | |
| -1025,686 | -517,853035 | -1543,539 | -771,7695155 | -938,90451 | |
| 86,885473 | 537,60608 | 624,491553 | 312,2457765 | 145,1107823 | |
| -746,92323 | -521,203316 | -1268,1265 | -634,0632745 | -801,198269 | |
| 1313,9524 | 1654,022089 | 2967,97444 | 1483,987221 | 1316,852227 | |
| 1227,6534 | 1524,525154 | 2752,17853 | 1376,089265 | 1208,954271 | |
| 222,21798 | 436,932237 | 659,150216 | 329,575108 | 162,4401138 | |
| -1194,2342 | -1061,677479 | -2255,9117 | -1127,955849 | -1295,09084 | |
| -1073,7593 | -844,663701 | -1918,423 | -959,2115055 | -1126,3465 | |
| -1332,0489 | -1036,714798 | -2368,7637 | -1184,381853 | -1351,51685 | |
| -902,37664 | -480,748169 | -1383,1248 | -691,5624065 | -858,697401 | |
| 2495,4359 | 3318,192838 | 5813,62873 | 2906,814363 | 2739,679369 | |
| Сумма | 2005,61993 |
Таблица 3.
Расчёт средних значений сезонной компоненты
3. Рассчитываем ошибки модели как разности между фактическими значениями и значениями модели.
Таблица 4.
Расчёт ошибок
| Месяц | Объём продаж | Значение модели | Отклонения |
| 8174,4 | 8415,985006 | -241,585006 | |
| 5078,3296 | 5165,11109 | -86,7814863 | |
| 4507,2061 | 4565,431382 | -58,2253093 | |
| 2257,1992 | 2202,924131 | 54,27503571 | |
| 3400,6974 | 3403,597227 | -2,89987379 | |
| 2968,7178 | 2950,018671 | 18,69910521 | |
| 2147,1426 | 2087,364714 | 59,77786521 | |
| 1325,5674 | 1224,710757 | 100,8566247 | |
| 2290,9561 | 2238,3689 | 52,58718971 | |
| 2953,3411 | 2933,873153 | 19,46793921 | |
| 4216,2848 | 4259,963999 | -43,6792433 | |
| 8227,5695 | 8471,812969 | -244,24348 | |
| 8991,84 | 8415,985006 | 575,8549942 | |
| 5586,1626 | 5165,11109 | 421,0514747 | |
| 4957,9267 | 4565,431382 | 392,4952977 | |
| 2482,9191 | 2202,924131 | 279,9949527 | |
| 3740,7671 | 3403,597227 | 337,1698622 | |
| 3265,5896 | 2950,018671 | 315,5708832 | |
| 2361,8568 | 2087,364714 | 274,4921232 | |
| 1458,1241 | 1224,710757 | 233,4133637 | |
| 2520,0517 | 2238,3689 | 281,6827987 | |
| 3248,6752 | 2933,873153 | 314,8020492 | |
| 4637,9132 | 4259,963999 | 377,9492317 | |
| 9050,3264 | 8471,812969 | 578,5134687 |
Находим среднеквадратическую ошибку модели (Е) по формуле:
Е= Σ О2 : Σ (T+S)2
где:
Т- трендовое значение объёма продаж;
S– сезонная компонента;
О- отклонения модели от фактических значений
Е= 0,003739 или 0.37 %
Величина полученной ошибки позволяет говорить, что построенная модель хорошо аппроксимирует фактические данные, т.е. она вполне отражает экономические тенденции, определяющие объём продаж, и является предпосылкой для построения прогнозов высокого качества.
Построим модель прогнозирования:
F = T + S ± E
Построенная модель представлена графически на рис. 5.
5. На основе модели строим окончательный прогноз объёма продаж. Для смягчения влияния прошлых тенденций на достоверность прогнозной модели, предлагается сочетать трендовый анализ с экспоненциальным сглаживанием. Это позволит нивелировать недостаток адаптивных моделей, т.е. учесть наметившиеся новые экономические тенденции:
Fпр t = a Fф t-1 + (1-а) Fм t
где:
Fпр t - прогнозное значение объёма продаж;
Fф t-1– фактическое значение объёма продаж в предыдущем году;
Fм t - значение модели;
а – константа сглаживания.
Константу сглаживания рекомендуется определять методом экспертных оценок, как вероятность сохранения существующей рыночной конъюнктуры, т.е. если основные характеристики изменяются / колеблются с той же скоростью / амплитудой что и прежде, значит предпосылок к изменению рыночной конъюнктуры нет.
Рис. 5. Модель прогноза объёма продаж
Таким образом, прогноз на январь третьего сезона определяется следующим образом.
Определяем прогнозное значение модели:
Fм t = 1 924,92 + 162,44 =2087 ± 7,8 (руб.)
Фактическое значение объёма продаж в предыдущем году(Fф t-1)составило 2 361руб. Принимаем коэффициент сглаживания 0.8. Получим прогнозное значение объёма продаж:
Fпр t = 0,8*2 361 + (1-0.8) *2087 = 2306,2 (руб.)
Для учёта новых экономических тенденций рекомендуется регулярно уточнять модель на основе мониторинга фактически полученных объёмов продаж, добавляя их или заменяя ими данные статистической базы, на основе которой строится модель.
Кроме того, для повышения надёжности прогноза рекомендуется строить все возможные сценарии прогноза и рассчитывать доверительный интервал прогноза.
Задание. Определить объем продаж мороженного на июнь третьего сезона.
Литература
1. Замков О.О., Толстонятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. М. ДНСС. 1997г.
2. Лук’яненко І. Г., Краснікова Л. І. Економетрика: Підручник. – К.: Т-во“Знання”, КОО, 1998. – 494 с.
3. Конюховский П. Математические методы исследования в экономике. – СПб.: Питер, 2000. – 208 с.
4. Монахов А. Математические методы анализа экономики. – СПб.: Питер, 2002. – 176 с.
5. Экономико-математические методы и прикладные модели: Уч. Пособие для вузов / В. В. Федосеев, А. Н. Гармаш, Д. М. Дайитбегов и др. – М.: ЮНИТИ, 1999. – 391 с.
6. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах.-М.: Высшая школа,1986.
7. Басов А.С. Линейное программирование в технико-экономических задачах. – М.: Наука, 1974.
8. Вентцель Е.С. Введение в иследование операцій. – М.: Радио, 1984.
9. Гасс С. Линейное программирование. – М.: Физматгиз, 1971.
10. Гершгорн А.С. Математическое программирование и его применение в экономических рас четах. – М.: Экономика,1978.
11. Дегтярёв Ю.И. Исследование операцій. – М.: Высшая школа, 1988.
12. Зайченко Ю.П. Исследование операцій. – Л.: Высшая школа, 1988.
13. Карасёв А.И. и др.. Курс высшей математики для экономических вузов, ч. II. – М: Высшая школа,1983.
14. Карманов В.Г. Математическое программирование. – М.: Наука,1980.
15. Ляшенко И.Н. Линейное и нелинейное программирование. – К.: Высшая школа,1975.
16. Щедрин Н.И., Кархов А.И. Математические методы программирования в экономике. – М.: Статистика, 1974.